Дан треугольник, две стороны которого равны по 10 см, третья - 12 см. Этот треугольник равнобедренный. Обозначим его АВС, АВ=ВС. Проведем высоту ВН к основанию. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой. ⇒ АН=СН=6 см. По т.Пифагора ВН=√(АВ²-АН²)=√(100-36)=8 см. Высоты к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны. Найдем их из площади ∆ АВС.
Ѕ(АВС)=АС•ВН:2=48 см² В то же время Ѕ(АВС)=СМ•АВ:2, поэтому СМ•10:2=48 см², откуда СМ=АК=96:10=9,6 см.
Дано:
∆АВС – равнобедренный с основанием АС;
АО и СМ – биссектрисы углов ВАС и ВСА соответственно.
Доказать: АО=СМ
Рассмотрим ∆АОС и ∆СМА.
АС – общая сторона;
Угол АСО=угол САМ, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно 0,5*угол АСО=0,5*угол САМ.
Так как АО и СМ – биссектрисы по условию, то угол САО=0,5*САМ; угол АСМ=0,5*угол АСО.
Тогда угол САО=угол АСМ.
Следовательно из всех найденных равенств:
∆АОМ=∆СМА по двум углам и стороне между ними.
Следовательно АО=СМ как соответственные стороны равных треугольников.
Доказано.
