АВС - равнобедренный треугольник с основанием АС. Окружность радиуса 19, 2 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 4,8. Найдите основание треугольника АС

1. S =  25,5 дм².

2. Cosα = 0,96.

Объяснение:

1. Построим сечение. Для этого проведем из точки О (пересечение диагоналей основания пирамиды - прямоугольника) луч, параллельно боковому ребру AS и на пересечении этого луча с боковым ребром CS обозначим точку Р.  Соединив точки В и D с точкой Р, получим треугольник BPD -- сечение пирамиды, проходящее через диагональ BD параллельно боковому ребру AS (так как луч ОР лежит в плоскости сечения и параллелен ребру AS).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

По Пифагору АС = BD = √(6²+8²) = 10 дм.  ОС = АО = BO = OD = 5 дм.

Треугольники ASC и OPC подобны (OP║AS) c коэффициентом подобия k=OC/AC = 1/2. =>  PC = SC/2.

Опустим из точки Р перпендикуляр РН.

Треугольники OSC и HPC подобны (PH║OS)  c коэффициентом подобия k=PC/SC = 1/2.  =>  PH  = SO/2,  НС = ОС/2.

Проведем из точки С перпендикуляр СТ к диагонали BD.  Это высота прямоугольного треугольника BCD, проведенная из прямого угла и по ее свойству CТ = BC*CD/BD =  8*6/10 = 4,8дм.

Проведем из точки Н прямую HQ, параллельно СТ. Тогда HQ⊥BD и по теореме о трех перпендикулярах PQ⊥BD и является высотой треугольника BPD.

Треугольники OCТ и OHQ подобны (HQ║CT) c коэффициентом подобия k=PC/SC = 1/2.  =>  HQ  = CT/2 = 4,8/2 = 2,4 дм.

По Пифагору PQ = √(HQ²+PH²) = √(2,4²+4,5²) = √26,01 = 5,1 дм.

Площадь сечения равна S = (1/2)*10*5,1 = 25,5 дм².

2. Определение: Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. АВ1 и СD1 скрещивающиеся прямые по определению.

Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.

Проведем диагональ А1В грани АА1В1В. A1B параллельна СD1 как соответствующие диагонали противоположных граней параллелепипеда. АВ1 и А1В - скрещивающиеся прямые. Следовательно, искомый угол - это угол между прямыми АВ1 и А1В. Боковая грань АА1В1В - прямоугольникб диагонали которого пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам. Диагонали равны между собой и по Пифагору равны √(АА1²+АВ²) = √(6²+8²) = 10 ед. Тогда АО = А1О = 5 ед.  АА1 = 6 ед. (дано).

Найдем косинус этого угла по теореме косинусов:

Cosα = (AO²+A1O² - AA1²)/(2*AO*AO) = (5²+5²-6²)/(2*25) = 14/50 = 0,28.

Тогда по известной формуле

Sinα = √(1 - Cos²α) =  √(0,9216) = 0,96.

3) найдем СВ....используем теорему синусов...к/sin 90=СВ/sina....отсюда: (синус 90 градусов равен 1)...СВ=к*sina...далее, по следствию из т. Пифагора найдем АС: ... теперь находим АД, используя подобие треугольников.... .... значит, АД=

4) в параллелограмме высоты будут равные....найдем одну из них, используя метод площадей...т.е. S=a*h....S=a*b*sina...(a и b - стороны....синус альфа - синус углы между этими сторонами....h - высота)...прировняв два метода нахождения площади, получим, что h=2 корень из 2

 1) сторону АС найдем через определение тангенса угла альфа...т.е. tga=CB/AC...AC=CB/tga=5/tga

2) используем основное тождество, чтобы найти косинус (через него найдем тангенс)...