№1. Дұрыс көпбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 540 градус болса, осы көпбұрыштың қабырғалар санын табыңыз

Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(2;-4;2), В(3;-3;3), С(4;0;1)

. Векторный (*).

Координаты вектора ВА( -1;-1 ;-1) , вектора ВС(1; 3;-2).

Длины векторов |BA|=√((-1)²+(-1)²+(-1)²)=√3,   |BC|=√(1²+3³+(-2)²)=√14  .

cos B= .

2 cпособ. По т. косинусов (**).

Для ΔАВС применим т. косинусов:   АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosВ.

Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками (***)    АВ=√( (3-2)²+(-3+4)²+(3-2)² )=√(1+1+1)=√3,

АС=√(2²+4²+(-1)²)=√21,       ВС=√(1²+3²+(-2)²)=√14.

Тогда     √21²=√3²+√14²-2*√3*√14*cosВ,

cosВ = = =  .

===================================  

(*)Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

(**)Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

(***)d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²+ (z₁-z₂)²),  где (х₁;у₁; z₁),  (х₂;у₂; z₂) -координаты концов отрезка.

Сделаем рисунок трапеции ABCD (BC||AD), проведём в ней диагонали AC и BD. (Рисунок простой, каждый сможет сделать его)
Через вершину С проведём параллельно диагонали ВD прямую до пересечения с продолжением АD в точке Е.  Обратим внимание на то, что четырехугольник ВСЕD - параллелограмм. ( Если две стороны четырехугольника равны и параллельны - этот четырехугольник - параллелограмм).
Следовательно, ВС=DЕ, и АЕ равно сумме оснований. 
Опустим высоту СН на АD/
Площадь треугольника АСЕ равна СН*(АD+DЕ):2
Но площадь трапеции также равна  СН*(АD+DЕ):2 .
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований. )
Высота СН для треугольника и трапеции - общая, а
(АD+DЕ):2 - есть полусумма оснований=средняя линия трапеции.и АЕ равна сумме оснований, т.е средняя линия, умноженная на 2.
 Итак, зная диагонали трапеции и ее среднюю линию, можно найти ее площадь по формуле Герона. Это свойство трапеции желательно запомнить.  

[email protected]