Каким (остроугольным, тупоугольным, прямоугольным) является треугольник, у которого cos ∝>0; cosβ > 0; cosγ < 0 ?

Построим прямоугольный треугольник ABC (С=90, угол А - острый). При пересечении двух биссектрис образуются смежные и вертикальные углы и назовем точку пересечения буквой К, следовательно два одинаковых и два разных угла. Пусть один из них будет 54 градуса (по условию), то второй угол равен 126 градусам. Так как биссектриса делит угол по полом, то половина прямого угла будет равна 45 градусам. Рассмотрим треугольник АСК. Угол С=45, угол К=126 => угол А=9градусам.
Рассмотрим треугольник АВС, угол А=18 градусам, В=72градусов. 

В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла перпендикуляр, катеты - наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота –  проекции катетов на нее.  На предлагаемом в приложении рисунке ВН - проекция катета ВС и АН - проекция катета АС на гипотенузу.

      Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.  ⇒ СН=√(BH*AH)=√(4,5•8)=6 см

    Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу Гипотенуза АВ=8+4,5=12,5.  ⇒ BC=√(AB•BH)=√(12,5•4,5)=7,5 см   АС=√(AB•AH)=√(12,5•8)=10 см.

                                      *  *  *

  Т.к. высота прямоугольного треугольника делит его на подобные, те же результаты будут получены при решение через подобие треугольников.