1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 13 см. Найти гипотенузу.
2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5 см, а его основание - 8 см. Найти sin, cоs и tg угла при основании. Найти площадь треугольника.
3. Точки М и Р лежат соответственно на сторонах АВ и СВ треугольника АВС, причем МР | | АС. Найти сторону РВ, если МР = 4 см, ВС = 16 см, АС = 10 см.
4. Одна из сторон параллелограмма на 8 см больше другой, а периметр равен 26 см. Найти стороны параллелограмма.
5. Найти периметр участка прямоугольной формы, площадь которого равна 2700 м2, а одна сторона в 3 раза больше другой.
6. Основания трапеции относятся как 2 : 5, а средняя линия трапеции равна 35 см. Найти основания трапеции.

Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника.
Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.
Сторона параллелограмма дана ВС=19.
Необходимо найти высоту h.
Вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки К до стороны АВ.
Надо доказать,что расстояние от точки К до стороны ВС равно расстоянию от точки К до стороны АВ.
Соединим концы биссектрис углов А и В и обозначим буквами M и  N.
Полученная фигура ABNM - ромб. Доказывается равнобедренность треугольников ABN и AMN через равенство противолежащих углов.
Проведем перпендикуляры из точки К к сторонам ВС и AD. Они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки К к стороне АВ, т. е. равны 7. Таким образом высота параллелограмма равна 14.
Площадь равна 14*19