2. ABCDA1B1C1D1-КУБ: а) укажите плоскости, параллельные ребру АВ. Обосновать.
б) Укажите плоскости, перпендикулярные АВ. Обосновать. в) Докажите, что ребро АВ перпендикулярно DA1.
3. Плоскости α и β параллельны. Через точку О, взятую между плоскостями проведены две пересекающиеся прямые a и b. Прямая а пересекает плоскость α в точке А, а плоскость β в точке В, а прямая b пересекает α- в точке А1, а β -в точке В1. ОА:ОА1=2:3, АВ=10. Вычислить А1В1.

пирамида КАВСД, К-вершина, АВСД квадрат со стороной=4, КС перпендикулярно АВСД, две грани ВКС и ДКС перпендикулярны АВСД, уголКДС=уголКВС=60 -наклон граней АКД и АКВ к плоскости основания, треугольник КДС прямоугольный, угол ДКС=90-уголКДС=90-60=30, КД=2*СД=2*4=8, КС=КД*sin60=8*корень3/2=4*корень3,

треугольник ВКС=треугольник КДС как прямоугольные по двум катетам, площадьКДС=1/2*СД*КС=1/2*4*4*корень3=8*корень3=площадьКВС,

согласно теореме отрех перпендикулярах, КД перпендикулярно АД, а КВ перпендикулярно АВ,

треугольники АВК=треугольник АКД как прямоугольные по гипотенузе (АК-общая) и катету(АД=АВ), площадь АКД=1/2*КД*АД=1/2*8*4=16=площадь АКВ,

боковая поверхность=2*площадьКДС+2*площадьАКД=2*8*корень3+2*16=16*(корень3+2)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.