Пусть дана трапеция ABCD, AD=28, BC=21
В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна. то есть AD+BC=AB+CD
Опустим с вершины B трапеции на основание BK высоту BK, тогда
AK=AD-KD=28-21=7
Пусть высота трапеции BK=x, тогда
(AB)^2=(BK)^2+(AK)^2=x^2+7^2
AB=sqrt(x^2+7^2)
Так как
AD+BC=AB+CD, то
21+28=x+sqrt(x^2+7^2)
sqrt(x^2+7^2)=49-x
x^2+7^2=(49-x)^2
x^2+49=2401-98x+x^2
98x=2352
x=24, то есть высота трапеции равна 24
R=H/2
R=24/2=12 - радиус вписанной окружности
Воспользуемся методом координат.
Поставим центр СК в точку D и направим ось X по DC, а ось Y по DA.
Система координат не является прямоугольной декартовой.
Обозначим AB=a, BC =b , CD = c , AD =d.
Имеем координаты точек:
D (0;0) A (0;d) C (c;0) , а координаты точки B мы не знаем. Обозначим их как b*x и b*y, где b - длина отрезка BC.
Имеем далее координаты точки Q (0;d/2) - середина DA и P ((c+b*x)/2;b*y/2) - середина BC.
Середина отрезка PQ - точка N по условию.
Её координаты N ((c+b*x)/4; (d+b*y)/4)
Далее находим координаты точки G - середина отрезка AC.
В этой точке медиана, выходящая из вершины B, пересекает сторону AC.
G (c/2;d/2)
Известно, что точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1.
Тогда координаты точки М равны
М = G+(B-G)/3 = ((b*x+c)/3;(b*y+d)/3)
откуда DM=L/3 , DN = L/4, где L=bx+c, by+d
