1. Проведіть пряму х, позначте точку А, що належить прямій хі точку В,
що прямій х не належить. Зробіть відповідні записи.
2°. Накресліть довільний відрізок РК і коло з центром у точці Рі радіусом
РК.
3°. У трикутнику ACM кут С- прямий. Як називається сторона АМ? Як
називаються сторони СА і СМ?
44. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 116°.
Знайдіть решту кутів. Чому дорівнює кут між цими прямими?
5. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 26 см, а бічна сторона
дорівнює 8 см. Знайдіть основу трикутника.
6. Дано: AB = DC, B ABC DCB (мал. 1). Довести, що в ABC = k DCB.
7. Один з кутів трикутника дорівнює 36", а другий – на 16° більший за
третій. Знайдіть невідомі кути трикутника.
8*. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо зовнішні кути при
вершинах цих кутів відносяться як 13:14.
Мал Через час нужно здать Heelp

4) Примем угол А=а, угол В=b

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒

в ∆ АДС ∠АCD=∠CAD=а. 

По условию СD=АD, а СD - медиана, и АD=ВD, ⇒ СD=ВD. 

∆ ВDС равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠ВСD=∠СВD=b

Из найденного следует: угол С=а+b

Сумма углов треугольника 180°

Угол А+угол С+угол В=180° ⇒

а+b+a+b=180°

2a+2b=180°⇒

a+b=90° - угол С=а+b=90°

(Полезно помнить: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой проведена, этот треугольник – прямоугольный). 

======

5) В ∆ АОС отрезок ОF перпендикулярен АС⇒ ОF – высота, а т.к. ∆ АОС равнобедренный (АО=ОС – дано), то ОF - медиана.  ∆ АВF=∆ BCF– они прямоугольные с равными катетами: АF=FC (доказано), и ВF - общий, ⇒ АВ=ВС. 

 В  равнобедренном ∆ АВС отрезок ВF- не только высота, но и медиана и биссектриса. Расстояние от точки до прямой - длина проведенного перпендикулярно к прямой отрезка. 

Треугольники ВКО и ВМО прямоугольные с общей гипотенузой ВО и равным острым углом при В. Эти треугольники  равны по углу и гипотенузе. Следовательно. ОМ=ОК=4. 

≈≈≈≈≈≈≈≈

6) Медиана AF делит ВС на равные отрезки. BF=CF⇒

DF  - медиана ∆ BDC и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы 

DF=ВС:2=5 (ед. длины)

======

8) Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒

угол САВ=90°-34°=56°

Медиана СМ делит ∆ АВС на равнобедренные: ∆ АМС с углами при АС, равными 56°, и ∆ ВМС с углами при ВС, равными 34°. 

Угол АСН=90°-56°=34°

∠НСМ=∠АСМ -∠АСН. 

Угол НСМ=56°-34°=22°

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

Доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.

PS    построения не сложные. - прямая, 2 точки на ней, одна точка вне прямой и два отрезка, соединяющие эту точку с точками на прямой..))) Но, если очень надо, - то файлик внизу с рисунком..))  И еще. Упоминание о том, что все это происходит на плоскости, - желательно. Дело в том, что всем нам с детства знакомы меридианы на географической сетке Земного шара. Так вот каждый меридиан перпендикулярен экватору, и все меридианы сходятся аж в двух точках : в Северном и Южном полюсах