В выпуклом четырехугольнике KLMN стороны KN и LM равны, ∠K=65°, ∠KLN=65° и
∠MLN=45°. Докажите, что KL=MN.
№2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, точка К – середина стороны CD.
Найдите периметр параллелограмма, если KD=7 см и KО=9 см.
№3. Отрезки EF и KM пересекаются в точке P, причем ∠EKP=∠FMP. Докажите, что KP:PM=EP:PF.
№4. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 5 см и 13 см, а меньшее основание равно
7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
№5. В ромбе ABCD угол ABD равен 22°. Найдите все углы ромба.

Объяснение:

1.Проведем в плоскости α прямую а’ перпендикулярно плоскости β. Две прямые, перпендикулярные одной  и той же плоскости, параллельны, следовательно, а' ║а. 

Если прямая вне плоскости параллельна какой нибудь прямой на ней, то эта прямая параллельна и самой плоскости.  Отсюда следует, что если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная перпендикулярно плоскости β, параллельна  плоскости α или принадлежит ей. 

2.По условию плоскость АВСD перпендикулярна плоскости ∆АВМ. 

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно к линии пересечения плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости. АD ⊥ АВ (стороны квадрата). ⇒

АD перпендикулярна плоскости треугольника АВМ. 

 Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку пересечения. 

DA перпендикулярна плоскости ∆ АВМ, следовательно,  перпендикулярна МА.  Угол DАМ=90°

Найдём сначала площадь треугольника АВС по формуле Герона
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) p-полупериметр a,b,c-соответственно 41,28,15
p=(41+28+15)/2=42
S=√(42(42-41)(42-28)(42-15))=√15876=126см²
теперь найдём радиус окружности по формуле
S=p*r, где p-полупериметр а r-радиус вписанной окружности
r=S/p=126/42=3см
теперь можно найти площади все 3 треугольников
S=S1+S2+S3
S1=1/2*h*a, в нашем случае высота это радиус вписанной окружности S1=1/2*r*a=3/2*41=61.5см²
S2=1/2*r*b=3/2*28=42см²
S3=1/2*r*c=3/2*15=22.5см²