с подробным решением и рисунком У колі з центром у точці О проведено хорду АС та дотичну АВ, точка А – точка дотику кола та прямої. Знайдіть величину <САВ, якщо <АОС = 118⁰ .

Условие задачи дано с ошибкой. Должно быть так:
В ΔАВС АВ = 15,  АС = 20,  ВС = 32.  На стороне АВ отложен отрезок АD = 9 см,  на стороне АС отрезок АЕ = 12 см. Найти DЕ и отношение площадей треугольника АВС и АDЕ.

AD : AB = 9 : 15 = 3 : 5
AE : AC = 12 : 20 = 3 : 5
∠А - общий для треугольников АВС и ADE, значит
ΔАВС подобен ΔADE по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Коэффициент подобия:
k = 3/5
DE : BC = 3 : 5
DE : 32 = 3 : 5
DE = 32 · 3 / 5 = 19,2
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Sabc : Sade = 9 : 25

сделаем построение по условию

дополнительно

параллельный перенос  прямой (BD) в прямую (B1D1)

искомый угол <AB1D1 в треугольнике ∆AB1D1

 

по теореме Пифагора

 

AB1=√(a^2+(3a)^2) =a√(1+9)= a√10

 

B1D1=√(a^2+(2a)^2) =a√(1+4)= a√5

 

AD1=√((2a)^2+(3a)^2) =a√(4+9)= a√13

 

по теореме косинусов

 

AD1^2 = AB1^2+B1D1^2 - 2*AB1*B1D1 * cos<AB1D1

 

(a√13)^2=(a√10)^2 + (a√5)^2 - 2* a√10* a√5 * cos<AB1D1

 

13a^2=10a^2 + 5a^2 -10√2a^2 * cos<AB1D1

 

cos<AB1D1 = 13a^2-(10a^2 + 5a^2) / -10√2a^2 = -2a^2 / -10√2a^2 = √2/10

 

<AB1D1  = arccos (√2/10)

 

ответ  угол между прямыми BD AB1  arccos (√2/10)