1. Из точки A проведен к плоскости α перпендикуляр
AO = 3 см и две наклонные AB=AC,
∠ BAO =∠CAO=60°,∠ CAB=90º. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
​
2. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Данная точка находится на расстоянии 2 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние и расстояние от этой точки до сторон треугольника.
​
3.Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости, а вершина прямого угла отстоит от плоскости на 3 см. Найти угол между плоскостью треугольника и данной плоскостью, если катеты треугольника по 8корень2 см
​
4. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D такая, что BD : BA = 1:3. Плоскость, параллельная прямой AC, и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D1. Найдите AC, если DD1 = 4 см.
​
5. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая КА, не лежащая в плоскости квадрата. Докажите, что КА и CD скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними, если ∠АКВ = 85°, ∠АВК Рисунки, дано,решения, ответ)

Нарисуем  треугольник, проведем высоту из вершины прямоуго угла и обозначим ее СН.

У высоты прямоугольного треугольника есть свои собственные свойства. 

Одно из них:

1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком ВН гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Катет СВ=9

Отрезки, на которые высота поделила гипотенузу, равны 2х и 3х (2х:3х=2:3), причем 3х ближе к вершине В ( проекция стороны СВ)

А всего в гипотенузе таких отрезков 5х.

СВ²=ВН·ВА

81=3х·5х

5х²=81

х=0,6√15

ВН=3·0,6√15=1,8√15

НА=2·0,6√15=1,2√15

2)Отношение отрезков гипотенузы,  на которые высота делит ее, равно отношению соответственных катетов. 

9:АС=1,8√15:1,2√15

9:АС=1,5

АС=6 

S АВС=9·6:2=27 ( ?)²

1.Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

АС-основание треугольника, значит МЕ=10 см.

2. Если же Ме не доказана, что она средняя линия, то сначала докажет это тождество.

Дан треугольник АВС.

Проведем прямую параллельную АС через точку М. По т. Фалеса отрезок пересекает сторону АВ в её середине.

Проведем прямую параллельную АВ из точки М. Тогда АЕМР-параллелограмм( Р-точка,которая лежит на стороне АС). У параллелограмма противоположные стороны =. Значит ЕМ=АР, АЕ=МР. Тогда ЕМ=1/2 АС. 2ЕМ=Ас. Ем=10 см.

Немного не понимаю, зачем даны другие стороны.