S бок = 2пRh = п(2 * 4 * 7) = 56п см²
S полн поверхности = 2пR(R + h) = п(8 * 4 + 8 * 7) = 88п см²
ответ: 56п см², 88п см²
(к 1 задаче рисунка нет)
Задача 1: 2)Так как h (на рисунке ОО1) = 8 см => АВ = CD = h = 8 см
D = 2R = 3 * 2 = 6 см => ВС = AD = D = 6 см
Найдём АС, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
c = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см
ответ: 10 см.
Задача 1: 3)S бок = 0,5S полн поверхности, по условию.
S полн поверхности = 2S осн + S бок
2S бок = 2S осн+ S бок
S бок = 2S осн
2пRh = 2пR²
h = R
АС = 5 см, по условию.
Найдём радиус R, по теореме Пифагора, а именно составим уравнение:
с² = а² + b²
АС² = CD² + AD²
5² = R² + (2R)²
25 = 5R²
5 = R²
R = √5
Итак, R = √5 см
Мы узнали, что h = R => h = √5 см
=> S полн поверхность = 2пR(R + h) = 2п√(5)(√(5) + √(5)) = 20п см²
ответ: 20п см²
-------------------------------------2. Конус.Задача 2: 1)R = D/2 = 24/2 = 12 см
S бок = пRl = п(12 * 13) = 156п см²
S полн поверхности = S осн + S бок = пR² + пRl = 144п + 156п = 300п см²
Найдём h, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см
Итак, h = 5 см
ответ: 5см, 300п см², 156п см²
Задача 2: 2)Осевое сечение конуса (если ось плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота SO делит этот равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника KSO и CSO(их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △KSC - равнобедренный)
Итак, △KSC - осевое сечение этого конуса.
SO - высота конуса.
MI - высота сечения, параллельного осевому.
△MCI подобен △SCO с коэффициентом подобия k = IC/OC
IC = OC - OI = 6 - 2 = 4 см
Итак, k = 4/6 = 2/3
MI = SO * k = 12 * 2/3 = 8 см
Рассмотрим △OIL:
OL = 6 см - радиус основания конуса.
OI = 2 см, по условию.
Найдём IL, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(6² - 2²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2 см
S△LMT = 1/2MI * LT = IL * MI = 4√2 * 8 = 32√2 см²
ответ: 32√2 см²
-------------------------------------3. Усечённый конус.Задача 3: 1)NC = 6 см, по условию. (r)
KD = 11 см, по условию.(R)
LD = KD - NC = 11 - 6 = 5 см
Найдём высоту CL, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
Итак, CL = 12 см
S бок = п(R + r) * l = (6 + 11) * 13 = 221п см²
S полн поверхности = п(R + r) * l + пR² + пr² = п(11 + 6) * 13 + п(11)² + п(6)² = 378п см²
ответ: 12 см, 221п см², 378п см².
Задача 3: 2)D = ВС = 14 см, по условию.
D = AD = 48 см, по условию.
R = BT = TC = D/2 = 14/2 = 7 см
R = AK = KD = D/2 = 48/2 = 24 см
TC = 7 см (r)
KD = 24 см (R)
FD = KD - TC = 24 - 7 = 17 см
Рассмотрим △FCD:
он прямоугольный, так как CF - высота..
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
=> ∠FCD = 90˚ - 60˚ = 30˚
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
=> CD = 17 * 2 = 34 см
S бок = п(R + r) * l = п(24 + 7) * 34 = 1054п см²
ответ: 1054п см² .
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую внешнюю касательную. Найдем расстояние между точками касания на прямой.
Отрезки касательных из одной точки равны (синие отрезки). Центры окружностей лежат на биссектрисах углов, образованных касательными. Угол между биссектрисами смежных углов - прямой. Точка касания окружностей лежит на линии центров. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Таким образом синий отрезок является высотой из прямого угла и равен среднему пропорциональному проекций катетов, √(R1*R2).
Расстояние между точками касания на прямой равно 2√(R1*R2).
В задаче три пары аналогичных окружностей.
AB+BC=AC => 2√(x*25/16) +2√(9*25/16) =2√(9x) <=> 7√x =15 <=> x=225/49
