До кола з центром О проведено дотичні ВА і ВС, А і С – точки дотику. Доведіть, що ВО – бісектриса ∠В.

Чертим пирамиду, диагонали основания (АС) и (ВD), высоту пирамиды SO. О - точка пересечения (АС) и (ВD) и центр квадрата АВСD. Треугольник АSC равен треугольнику АВС по трем сторонам. Значит треугольник ASC прямоугольный равнобедренный. АС=sqrt(2), AO=OC=OS=sqrt(2)/2.
Все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники со стороной 1. Апофемы пирамиды равны высотам этих треугольников и равны sqrt(3)/2. Проведем сечение через вершину пирамиды S и середины ребер AD (точка М) и ВС (точка N). Угол между АВ и плоскостью треугольника SAD равен углу между АВ и SM, значит равен углу между SM и NM или углу SMO.
Из треугольника SOM получаем: cos(SMO)=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3.

ответ: Sосн=225π(см²);

Sбок.пов=375π(см²); Sпол=600π(см²);

V=1500π(см³); Sсеч=300см²

Объяснение: образующая конуса с радиусом образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус и высота - катеты, а образующая- гипотенуза. Найдём высоту конуса h по теореме Пифагора:

h²=обр²-r²=25²-15²=625-225=400;

h=√400=20см

Так как осевым сечением конуса является треугольник, то его площадь вычисляется по формуле:

S=½×а×h, где а- сторона треугольника, а h- высота проведённая к стороне. Стороной бокового сечения является диаметр конуса=15×2=30см

Sсеч=½×30×20=15×20=300см²

Найдём площадь основания по формуле:

S=πr², где r- радиус основания:

Sосн=π×15²=225π(см²)

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S=πrl, где r=радиус, а l- образующая:

Sбок.пов=π×15×25=375π(см²)

Чтобы найти полную площадь поверхности конуса нужно суммировать обе площади: основания и боковой поверхности:

Sпол=Sбок.пов+Sосн=

=375π+225π=600π(см²)

Теперь найдём объем конуса по формуле: V=⅓×Sосн×h=225π×20=4500π×⅓=

=1500π(см³)