1) Выбрать верный вариант ответа
А) В любой четырехугольник можно вписать окружность.
Б) Около любого треугольника можно описать только 3 окружности.
В) Если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то в него можно вписать окружность.
Г) Если сумма противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна, то вокруг него можно описать окружность.
Д) В треугольник можно вписать только одну окружность.
2) Центр окружности, вписанной в треугольник представляет собой
А) Точку пересечения медиан треугольника.
Б) Точку пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
В) Точку пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Г) Точку пересечения высот треугольника.
Д) Правильного ответа нет.
3) В любом вписанном четырехугольнике
А) Сумма внутренних углов равна 360° градусов.
Б) Суммы длин противоположных сторон равны.
В) Сумма противоположных углов равна 160°.
4) Площадь треугольника равна
А) Произведению периметра на радиус вписанной окружности.
Б) Произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
В) Произведению полупериметра на радиус описанной окружности.
5) Центр окружности описанной около треугольника представляет собой точку пересечения
А) Высот треугольника
Б) Биссектрис внутренних углов треугольника.
В) Медиан треугольника.
Г) Срединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Д) Правильного ответа нет.

№1

Рассмотрим треугольники FMN и FNK.  Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников(по двум сторонам и углу между ними). Сторона FK-общая, 

сторона FM=NK, докажем это - по условию EF=EK (треугольник равобедренный), М-середина стороны EF, значит FM=1/2EF, N-середина ЕК, значит NK=1/2ЕК, значит FM=NK, а угол F=К, так треугольник FEK равнобедренный, то углы при основании равны. А так треугольники равны, то и все стороны у треугольников равны (третий признак равенства), значит сторона FN=KM

№2

В этой задачи перепроверь, что надо доказать, треугольника ЕРЕ не существует, уточни условие и я дорешаю.

ДАНЫ ТОЧКИ А(9;-5;8), B(3;-6;4), C(-6;0;8).

1) Координаты вектора BC:   (-6-3=-9; 0-(-6)=6; 8-4=4) = (-9; 6; 4).

2) Разложение вектора BC как суммы двух векторов.

ВС =   ВА + АС.

Вектор ВА =(9-3=6; -5+6=1; 8-4=4) = (6; 1; 4),

Вектор АС = (-6-9=-15; 0+5=5; 8-8=0) = (-15; 5; 0).

ВС = (6-15 = -9; 1+5=6; 4+0=4) = (-9; 6; 4).

3) Координаты середины отрезка AB.

М = ((9+3)/2=6; (-5-6)/2=-5,5; (8+4)/2=6) = (6; -5,5; 6).  

4) Длина отрезка AC.

|AC| = √((-15)² + 5² + 0²)  = √(225 + 25 + 0) =√250 = 5√10.

5) Определите вид треугольника ABC.

Для этого надо определить или стороны, или углы треугольника.

Треугольник АВС      

  a(ВС)   b(АС)  c(АВ)      p            2p                 S

11,53256 15,81139 7,28011 17,31203 34,62406 38,81043

  133 250              53 (это квадраты сторон).  

cos A = 0,73843  cos B = -0,381141  cos С = 0,90487

Аrad = 0,74005  Brad = 1,961827  Сrad = 0,439712

Аgr =  42,401914  Bgr =  112,404407   Сgr = 25,193679

Треугольник АВС тупоугольный.

6) Длина медианы из вершины А:

Точка М как середина стороны BC  

х у z

-1,5 -3 6

А(9;-5;8)

Тогда АМ = √((9+1,5)² + (-5+3)² + (8-6)²) = √118,25 ≈ 10,87428.