Точки А (0;2;0);В(1;0;0)С(2;0;2) D(1;2;2) являются вершинами ромба АBCD.Найдите острый угол ромба.

Дано:

параллелограмм ABCD

BK — биссектриса ∠ABC

AK = KD + 1.2 см

[tex] P_{ABCD} [\tex] = 13.8 см

Найти: AB, BC, CD, AD

Биссектрисса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, это дополнительное свойство параллелограмма. (Это не обязательно, но: Вытекает оно из теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Противоположные стороны параллелограмма параллельны, это свойство параллелограмма, то есть, AD || BC, а BK — секущая. Получается, что ∠CBK и ∠AKB — внутренние накрест лежащие углы, а они равны, то есть, ∠CBK = ∠AKB. BK — биссектриса ∠ABC, ∠ABK = ∠CBK, значит ∠ABK = ∠AKB и получается, что у треугольника ABK два угла равны, значит треугольник ABK — равнобедренный).

Треугольник ABK — равнобедренный, углы при основании равны, ∠ABK = ∠AKB. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны, AB = AK.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, AB = CD, BC = AD. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух его смежных сторон,

[tex] P_{ABCD} [\tex] = 2 × (AB + AD) = 13.8 см,

AB + AD = 13.8 см ÷ 2 = 6.9 см.

AK = KD + 1.2 см, по условию задачи =>

AB = AK = KD + 1.2 см;

AD = AK + KD = KD + 1.2 см + KD = 2×KD + 1.2 см;

AB + AD = KD + 1.2 см + 2×KD + 1.2 см = 3×KD + 2.4 см = 6.9 см,

3×KD = 6.9 см – 2.4 см = 4.5 см,

KD = 4.5 см ÷ 3 = 1.5 см. =>

AB = CD = KD + 1.2 см = 1.5 см + 1.2 см = 2.7 см,

BC = AD = 2×KD + 1.2 см = 2 × 1.5 см + 1.2 см = 3 см + 1.2 см = 4.2 см

ответ: AB = 2.7см, BC = 4.2см, CD = 2.7см, AD = 4.2см

Билет № 2
3. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС=134°
АВ - диаметр - > < C=90 < A=67 (вписанный угол) < B=180-90-67=23

Билет № 3
3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.
Так как четырехугольник описан вокруг окружности, то сумма других сторон равна 12
S=p*r=(a+b+c+d)*r/2=24*5/2=60

Билет № 4
3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.
Дан треугольник ABC. AB=BC. M - точка касания вписанной окружности стороны АВ. N - точка касания вписанной окружности стороны ВC. K - точка касания вписанной окружности стороны АC. AM=3. MB=4.
В соответствии со свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности
AM=AK CK=CN BM=BN
P=3+3+4+4+3+3=20