Объяснение:
Возможно (и скорее всего), не самый короткий путь, но всё же.
Рассмотрим тр-ки △ANC и △CMA. У них АС - общая, <NAC=<MCA как углы при основании равнобедренного △ABC, а <ACN=<CAM как половинки этих равных углов (поскольку AM и CN - биссетрисы). => △ANC=△CMA по 2му признаку.
Из равенства △ANC=△CMA следует, что AN=CM. Очевидно также что и BN=BM
По обратной теореме Фалеса Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
Значит АС || MN => <AMN=<MAC как внутренние накрест лежащие (секущая AM). А <BMN=<MCA как соответственные (секущая ВС). При этом <AMN=<MAC=1/2<NAC=1/2<MCA => <BMN=2<AMN. Что и требовалось доказать.
Используя теоремы синусов и косинусов мы нашли:
с = 13,7 ед., ∠В = 58°, ∠С = 77°.
Объяснение:
Требуется найти сторону с, угол В, угол С используя теоремы косинусов и синусов.
Дано: ΔАВС.
a = 10; b = 12;
∠C = 45°.
Найти: с, ∠А; ∠В.
1. Для того, чтобы найти ∠В, воспользуемся теоремой синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
Подставим значения в формулу значения: a = 10; b = 12;
.
⇒ по таблице найдем ∠В ≈ 58°
2. Найдем ∠С.
Нам уже известны ∠А = 45° и ∠В = 58°.
Сумма углов треугольника равна 180°.⇒
∠С = 180° - (∠А +∠В) = 180° - (45° +58°) = 77°.
Итак ∠С =77°
3. Осталось найти сторону с.
Найдем сторону с по теореме синусов.
∠С =77° ⇒ sin 77° = 0,97
Подставим значения b = 12; sin∠C = 0,97; sin∠B = 0,85:
Сторона с = 13,7 (ед.)
* Сторону с можно также найти по теореме косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
∠С = 77° ⇒ cos ∠C = 0,22
Подставим в формулу значения: а = 10; b = 12; cos ∠C = 0,22:
Сторона с = 13,7 (ед).
