9. У трикутнику ABC AB=15 см, ВС=18 см , АС= 12см . Знайти відрізки, на які бісектриса кута
А ділить сторону ВС.​

Формула объёма конуса  

V=S*h/3

Его основание - круг , ограниченный вписанной в основание пирамиды окружностью радиуса r  . 

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты. 

Пусть основание пирамиды АВС, ВЕ - его высота.

ВЕ=АВ*sin 60º=(6√3)•(√3):2=9⇒

r=OE=9:3=3

Данное по условию расстояние √56 от вершины основания до противоположной грани - это высота ∆ МВЕ, она же катет ВН прямоугольного  треугольника ВЕН

По т.Пифагора 

ЕН=√(BE² -BH² )=√81-56=5

Высота конуса МО - катет ∆МОЕ. 

∆МОЕ~∆ВНЕ - оба прямоугольные с общим острым углом при Е. 

Из подобия следует отношение:

ВН:МО=НЕ:ОЕ

√56:МО=5:3

5МО=3√56

МО=(3√56):5

S основания=πr² = 9π

V=[(9π•3√56):5]:3=1,8π√56 (ед. площади)

Обозначим длины сторон треугольника за a,b,c. Пусть a≤b<c, то есть, сторона c треугольника является наибольшей. Обозначим за x длину высоты, проведенной к стороне a, за y высоту, проведенную к стороне b и за z высоту, проведенную к стороне c.

Известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту. Следовательно,
1/2*ax=1/2*by=1/2*cz=S, ax=by=cz.

Покажем, что x>z и y>z. Действительно, из равенства ax=cz следует x=cz/a, но a<c, тогда x=(c/a)*z>1*z=z. Аналогично, y=(c/b)*z>1*z=z. Таким образом, высота z, проведенная к наибольшей стороне треугольника c, меньше двух других высот, что и требовалось доказать.