. В прямоугольном треугольнике MPQ( P= 90°) , QM =10, PQM =30°. С центром в точке M проведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы:
а) окружность касалась прямой QP;
b) окружность не имела общих точек с прямой QP;
c) окружность имела две общие точки с прямой QP?

Пусть внутри равностороннего треугольника ABC взяли точку O. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOB, BOC, AOC. Площадь треугольника AOB можно записать как  1/2*a*h1, где a - сторона AB исходного равностороннего треугольника, h1 - высота треугольника AOB, проведённая из вершины O. Она и будет расстоянием от O до стороны AB. Аналогично, площади треугольников BOC и AOC можно записать соответственно как 1/2*a*h2, 1/2*a*h3, где h2, h3 - расстояния от O до двух других сторон треугольника. Сложив эти три площади, получим, что 1/2*a*(h1+h2+h3)=1/2*a*h, где h - высота исходного равностороннего треугольника. Значит, h1+h2+h3=h, то есть сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника, в нашем случае 6 см.

Пусть это пирамида КАВС,
КО- высота пирамиды,
АН - высота правильного треугольника (основания пирамиды) 
Пусть нужный угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды - это угол между боковым ребром КА и высотой АН правильного треугольника ( основания пирамиды).
Высоту правильного треугольника находят по формуле 
h=a(√3:2), где а- сторона треугольника.
h=8(√3:2)=4√3
Так как основание - правильный треугольник, основание высоты пирамиды находится в точке О пересечения высот правильного треугольника. 
Расстояние от О до основания А ребра КА  по свойству медиан равно 2/3 высоты АН
( она же и медиана);
АО=2*(4√3):3=(8√3):3 
Треугольник КАО - прямоугольный ( высота перпендикулярна плоскости основания).
Тангенс угла КАО  - это отношение 
КО:АО=6:(8√3)/3
Тангенс КАО=18:8√3=9:4√3=3√3/4.