Решите контрольную, сегодня сдать надо

1) Даны точки А(3; - 1), В(4; 1), С(2; 0), D(3; 1). а) Найдите координаты векторов (АС) ⃗ и (ВD) ⃗.

б) Найдите вектор, равный (ВD) ⃗ - (СА) ⃗. в) Найдите угол между векторами (СА) ⃗ и (DВ) ⃗.

г) Пусть (ВМ) ⃗ = 6∙(ВD) ⃗, (AN) ⃗ = 4∙(AС) ⃗. Найдите координаты точек М и N.

2) Дан ромб АВСD. Выразите векторы СА ⃗ и (ВD) ⃗ через векторы (АВ) ⃗ и (СВ) ⃗.

3) Докажите, что точки А(- 2; 4), В(- 6; 12), С(2; 8), D(6; 0) являются вершинами параллелограмма

​

Построим правильный треугольник АВС, тогда АВ=ВС=СА=10, пусть АС-основание. Параллельно АС проведем четыре параллельные прямые пересекающие стороны АВ и ВС. Параллельня прямая, которая ближе к вершине В пересекает стороны треуг АВ в т.К, ВС в т.М. Нам нужно найти периметр треуг КВМ. У нас получилось, что треуг АВС подобен треуг КВМ, значит соотношение сторон и периметра этих треуг будет равно к-коэффициенту подобия. А соотношение площадей этих треуг =к². Найдем площадь треуг АВС. Для этого из вершины В на сторону АС проведем высоту ВН. В правильном треугольнике высота является медианой и биссектриссой, т.к. треуг равносторонний. Тогда АН=АС/2=10/2=5 см. Найдем ВН²=АВ²-АН² ВН²=10²-5²=100-25=75 ВН=√75=5√3. Площадь треуг АВС SтрАВС=ВН*АС/2=(10*5√3)/2=25√3.  Найдем  SтрКВМ=SтрАВС/5 (по условию) SтрКВМ=(25√3)/5=5√3 тогда Из подобия треуг SтрАВС:SтрКВМ=к² 25√3:5√3=5=к² к=√5. Теперь напишем соотношение периметров РтрАВС:РтрКВМ=к 30:РтрКВМ=√5 РтрКВМ=30/√5

Пусть точка H-проекция точки AA1 на основание, A1H=h-высота призмы, угол A1AH равен фи. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Осталось найти площадь основания. AH=h*ctg "фи", c другой стороны, AH это 2/3 от высоты основания. Пусть высота основания(треугольника ABC) AD, она равна a*sqrt3/2, где a-cторона основания. Тогда AH=a*sqrt3/3=h*ctg "фи". a=sqrt3*h*ctg "фи".
Площадь равностороннего треугольника равна a*a*sqrt3/4=3ctg^2 "фи"*h^2*sqrt3/4.
Объём равен 3sqrt3/4*ctg^2 "фи"*h^3.
Если словами, то получился объём "3 корня из 3 умножить на котангенс в квадрате фи умножить на h в кубе делить на 4.