Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через прямую QR, где точка Q лежит на ребре SB, а точка R - на ребре AD, и точку P, лежащую в грани SCD.

Определение: Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.    
Линейный угол двугранного угла - это угол, образованный  двумя лучами, которые имеют общее начало, лежащее на  ребре двугранного угла, и проведенными в обеих гранях  перпендикулярно  этому ребру.     
Обе плоскости сечения содержат в себе диагональ куба А1С,  которая  является линией их пересечения.  
Соотношение линейных  величин у кубов одинаковы.  
 Пусть данный куб единичный, где его ребро равно 1.   
Тогда его диагональ А1С по формуле диагонали куба равна √3, а  диагональ его грани равна √2.    
А1С=√3   А1В=√2    
Искомый угол ∠В1КН, где В1К - высота треугольник аА1В1С.    
В1Н - перпендикуляр из В1 на плоскость А1СВ, в частности, В1Н  перпендикулярен А1В.   
Из треугольник аА1В1С найдем В1К.   
Треугольники А1В1С и КВ1С подобны. 
 А1В1:В1К=А1С:В1С  
1/В1К=√3/√2  
Грани куба - равные квадраты.   
Диагонали квадрата перпендикулярны и точкой пересечения  делятся пополам.  
 В1Н ⊥ А1В, ⇒ является половиной диагонали грани куба  и  равна ( √2):2  
  В1К ⊥  А1С,  НК ⊥ А1С.   
Треугольник В1НК - прямоугольный.  
 cos ∠ НВ1К=В1Н:В1К   
 cos ∠НВ1К=(√2/2):√2/√3=√3/2, и это косинус угла 30º.  
 Значит, угол В1КН, как второй острый угол прямоугольного   треугольника, равен 90º-30º=60º

Відповідь:

Пояснення:

1. В прямокутному трикутнику один з кутів = 90°, а сума всіх кутів = 180°. Виходячи з цього невідомий кут х=180°-90°-47°=43°

Відповідь: 43°

2. Знайдемо суміжний кут зовнішнього кута 180°-117°=63°. В прямокутному трикутнику один з кутів = 90°, а сума всіх кутів = 180°. Виходячи з цього невідомий кут х=180°-90°-63°=27°

Відповідь: 63° та 27°

3. В цій задачі скористаємося теоремою Піфагора, щоб знайти другий катет:

см

4. Оскільки із означення вписаного в коло прямокутного трикутника відомо, що радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи, то гіпотенуза в даній задачі дорівнює відомому катету збільшеному в д рази.

Знайдемо кут протилежний відомому катету х:

Один кут = 30°. Оскільки це прямокутний трикутник, то прямий кут = 90°, а третій кут = 180°-90°-30°=60°

Відповідь: кути трикутника 30°, 60°, 90°

5. Оскільки дотична із радіусом утворюють кут 90°, то утворюється прямокутний трикутник АОМ, в якому потрібно знайти гіпотенузу ОМ.

Третій кут в трикутнику буде дорівнювати 60°, оскільки 180°-90°-30°=60°.

За теоремою Синусів