Даны точки А-3 2 В2 4 С 2 -3 D 7 -1 а)Докажите что АВ=СD

Дана наклонная призма АВСА₁В₁С₁.
Треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный, АВ=ВС=7.
Плоскость  (АСС₁А₁) перпендикулярна плоскости АВС.

Проведём А₁К перпендикулярно АС, СМ параллельно А₁К,
СМ перпендикуляр к АС и ВС перпендикуляр к АС, значит угол МСВ- линейный угол двугоранного угла между плоскостями АСС₁А и АВС.
Угол МСВ=90⁰
,
АС перпендикуляр к ВС, АК- проекция АА₁ , по теореме о трех перпендикулярах АА₁ перпендикуляр к ВС.
Значит и СС₁ перпендикуляр в ВС. Четырехугольник ВВ₁С₁С- прямоугольник. Его площадь равна 56. Катет ВС=7, значит боковые ребра призмы 8
7*8=56
Из прямоугольного треугольника АА₁К зная угол А₁АК=45⁰ ( по условию) найдем высоту А₁К=4√2

V=S·H=1/2 АС·ВС·А₁К=1/2·7·7·4√2=98√2 кв ед.

Даны точки А(-1,3,0), В(0 1 2) и  модуль СВ, равный 6.

Находим модуль АВ: √(0-(-1))² +(1-3)² + (2-0)²) = √(1 + 4 + 4) = 3.

Если модуль АВ равен 3, а модуль СВ равен 6, то угол АСВ равен 30 градусов, а треугольник АВС - прямоугольный.

Модуль СА = 6*cos 30° = 6*(√3/2) = 3√3.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженного на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов СА и СВ равно:

СА х СВ = (3√3)*6*(√3/2) = 27.