1) Проведен отрезок от точки А (1;-1) до точки В (-4;5). До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?
Разность координат между точками А и В равна (-4-1=-5; 5-(-1)=6) = (-5; 6).
Утроенная разность равна (-5*3=-15; 6*3=18) = (-15; 18).
ответ: координаты точки С, до которой надо продлить отрезок, равны:
С(1-15 = -14; -1+18 = 17) = (-14; 17).
2) Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4. Найти траекторию точки.
Обозначим координаты неизвестной точки как M(x,y). В декартовой системе координат расстояние между точками рассчитывается по формуле d=√((x2−x1)²+(y2−y1)²) .
Тогда, согласно условию задачи, получаем
|AB² − BM²| = 4 => |(x−xA)²+(y−yA)²− (x−xB)²−(y−yB)²| = 4.
Подставим координаты точек A(1;−3),B(2;-1), получаем
|(x-1)²+(y+3)²− (x−2)²−(y+1)²|=4=> |x²-2x+1+y²+6у+9 − x²-4x−4-y²-2у-1|=4,
| -2x +6у+9 -4x−4 -2у|=4=> |-6x +4y+5|=4.
Раскрыв модуль, получаем уравнения двух параллельных прямых.
ответ: у = 1,5х – (9/4) и у = 1,5х – (1/4).
3)Написать уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен угловому коэффициенту прямой 3х -5у + 5 = 0, а большая ось равна радиусу окружности х² + у² - 12х + 6у – 55 = 0.
Находим угловой коэффициент прямой 3х - 5у + 5 = 0.
у = (3/5)х + 1, к = (3/5) = 0,6.
Уравнение окружности х² + у² - 12х + 6у – 55 = 0 приведём к каноническому виду.
Выделим полные квадраты:
(х² – 12х + 36) – 36 + (у² + 6у + 9) - 9 - 55 = 0,
(х – 6)² + (у + 3)² = 10². Откуда получаем радиус окружности, равный 10.
Большая полуось эллипса равна а = 10/2 = 5.
Находим расстояние от центра до фокуса эллипса: с = е*а = 0,6*5 = 3.
Теперь можно определить малую полуось: в = √(а² – с²) = √(25 – 9) = √16 = +-4.
ответ: уравнение эллипса (х²/5²) + (у²/4²) = 1
144 см
Объяснение:
1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
Пусть верхнее основание равно х, тогда:
3 · ((48-x) : 2) = (48+х):2,
где в левой части - 3 - количество равных отрезков, согласно условию задачи, а в правой части - та же самая длина средней линии трапеции, выраженная через длины её оснований.
Находим х:
144 - 3х = 48 + х
4 х = 96
х = 24 см.
2. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
Сумма оснований трапеции:
48 + 24 = 72 см.
Следовательно, сумма боковых сторон также равна 72 см.
Находим периметр трапеции:
72 см (сумма длин оснований) + 72 см (сумма длин боковых сторон) = 144 см
ответ: 144 см
