Даны координаты точек А(1;0;1), В(-1;1;2) и С(0;2;-1), D(-2;3;0)?.
Найдите косинус угла между векторами (AB) ⃗ u (CD) ⃗. [5]

2. а). Напишите уравнение сферы с центром в начале координат, если плоскость х=3 касается этой сферы. [1]
б). Сфера задана уравнением х2+4х+у2+z2=0. Найдите координаты центра и радиуса сферы. [2]

3.а) Даны векторы =(1;3;4) и =(4;4;-7). Верно ли, что векторы перпендикулярны? [2]
b). Даны векторы (-3;3;5) и (4;х;-1). При каком значении х выполняется условие =4? [2]

4.a) Составить каноническое уравнение прямой ,проходящей через точки
М_1(2;-3;6), М_2(4;-3;-10) . [3]

б). Дан вектор ( ) - направляющий вектор прямой n, точка N (1;-4;0) принадлежит прямой n. Напишите каноническое уравнение прямой n. [1]

5. Найдите сумму всех значений m, при которых векторы (m + 2; 2;-1) и
( (m; -m; -3m+4) перпендикулярны. [4]

Два заданих прямокутних трикутника - подібні

Объяснение:

Знайдемо всі кути першого прямокутного трикутника, знаючи, що сума кутів будь якого трикутника дорівнює 180°:

1 кут=90°, так як трикутник прямокутний,

2 кут=38°- за умовою задачі,

3 кут=180°-90-38=52°

Знайдемо всі кути другого прямокутного трикутника:

1 кут=90°, так як трикутник прямокутний,

2 кут=52°- за умовою задачі,

3 кут=180°-90-52=38°

1.Враховуємо першу ознаку подібності трикутників,  "Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні".

2.Порівнюємо кути двох трикутників- вони рівні між собою.

3. Приходимо до висновку, що трикутники подібні.

KPNM - трапеция,  PN║KM ,  KM=16 .
AK=AN ,  BM=BP ,  AB=5 .
  Продолжим отрезок АВ до пересечения его со сторонами трапеции
  КР и NM . Получим отрезок СД.
   Так как средняя линия трапеции проходит и через середины диагоналей трапеции, то отрезок АВ лежит на средней линии, которой будет отрезок  СД и тогда АВ║КМ. 
 Точка Д - середина NM, т.к.  она лежит на продолжении АВ и
  тогда АД║КМ.
 По теореме Фалеса стороны ∠KNM пересечены параллельными отрезками АД  и КМ  ⇒  точка Д - середина NM, раз точка А - середина KN. Аналогично, точка С - середина КР . 
ΔKNM:  BД - средняя линия ΔKNM ,BД║КМ, ВД=1/2*КМ=1/2*16=8.
ΔKPM:  CB - средняя линия ΔKPM , CB║KM , CB=1/2*КМ=1/2*16=8.
СА=СВ-АВ=8-5=3
ВД=ВД-АВ=8-5=3
СД=СА+АВ+ВД=3+5+3=11
Средняя линия СД=(КМ+PN)/2=(16+PN)/2=11 ,
                                                       16+PN=2*11
                                                        16+PN=22
                                                              PN=6
Если знать свойство: длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований, то можно решить быстрее.
АB=(КМ-PN)/2  ,  5=(16-PN)/2  ,  16-PN=10  ,  PN=6 .