1. Пусть a b c - ребра параллелепипеда, d - большая диагональ. Заданы диагонали граней. Тогда
a^2 + b^2 = 11^2;
b^2 + c^2 = 19^2;
a^2 + c^2 = 20^2;
a^2 + b^2 + c^2 = d^2;
Складываем первые три равенства, получаем
2*d^2 = 11^2 + 19^2 + 20^2; d^2 = 441; d = 21.
2. Надо найти высоту H параллелепипеда, а для этого надо найти большею диагональ (обозначим её m) параллелограмма в основании, и потом на неё разделить заданную площадь S = 63.
Большея диагональ соединяет вершины острых углов, поэтому мы ищем эту диагональ из треугольника со сторонами 3 и 5 и углом 180 - 60 = 120 градусов.
m^2 = 3^2 + 5^2 + 2*5*3*(1/2) = 49; (Это теорема косинусов)
m = 7;
H = S/m = 63/7 = 9;
Боковая поверхность равна 2*(3 + 5)*9 = 144
В основаиях у этой пирамиды - КВАДРАТЫ. В любом осевом сечении получится равнобедренная трапеция, и наименьшая площадь у нее будет, если основания этой трапеции имеют наименьшую длину. В квадрате отрезок, соединяющий точки противоположных сторон и проходящий через центр квадрата, имеет наименьшую длину, если соединяет середины противоположных сторон, то есть сечение проходит через середины противоположных сторон оснований, и основания равнобедренной трапеции в осевом сечении РАВНЫ СТОРОНАМ КВАДРАТОВ В ОСНОВАНИИ.
Стороны оснований равны 6*корень(2) и 14*корень(2), их полусумма 10*корень(2), поэтому высота пирамиды 60/(10*корень(2)) = 3*корень(2).
А боковая сторона заданного осевого сечения является апофемой боковой грани. Она находится страндартным образом - опускается перпендикуляр из вершины малого основания на большое, получается прямоугольный треугольник с катетами 3*корень(2) и (14*корень(2) - 6*корень(2))/2 = 4*корень(2), поэтому боковая сторона осевого сечения равна 5*корень(2),
Находим площадь боковой грани. Она равна 10*корень(2)*5*корень(2)/2 = 50,
Поэтому полная поверхность имеет площадь = 72 + 392 + 4*50 = 664
