Вариант1

А1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, один из катетов - 6 см. Найти радиус описанной окружности.

А)5см Б) 8см В) 6см Г) 10см

А2. Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его

А) медиан Б) высот В) биссектрис

Г) серединных перпендикуляров к его сторонам

А3. Пусть d – расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если: r = 20 cм, d = 17 cм

А) имеют две общие точки Б) одна общая точка В) не имеют общих точек.

А4. . Градусная мера дуги АС равна 980 Найдите градусную меру вписанного угла АВС.

А) 490 Б) 1960 В) 980 Г) другой ответ

А5. Центральный угол АОС больше вписанного угла АВС на 640 . Найдите градусную меру дуги АВС.

А) 640 Б) 1280 В) 680 Г) 320

В1. АВ и АС- отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

В2. Рисунок 1. Дано: ᵕАВ : ᵕВС = 11 : 12.

Найдите ∟ВСА, ∟ВАС.

1. Параллелограмм - это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства:
1) В параллелограмме противоположные стороны равны, и противоположные углы равны.
2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2. Признаки:
1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, тот этот четырёхугольник - параллелограмм.
2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, тот этот четырёхугольник - параллелограмм.
3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Имеем равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 10. Медиана АМ к стороне ВС равна √153.
Медиана к основанию - это высота ВД.

Медиана разбивает треугольник на 2 равновеликих по площади.
Тогда S(АВС) = 2S(АВМ).
Площадь треугольника АВМ находим по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Полупериметр р = (10+5+√153)/2 = (15+√153)/2 ≈  13,684658.
Подставив данные, получаем S(АВМ) = 24.
Тогда S(АВС) = 2*24 = 48.

Обозначим АД -  половину стороны АС - за х.
Высота ВД это Н = √(10² - х²) = √(100 - х²).

Тогда площадь треугольника АВС равна:
S(АВС) = (1/2)*2x*H = х√(100-х²) = 48.
Возведём обе части в квадрат.
х²(100-х²) = 48².
Заменим х² на у.
Получаем квадратное уравнение:
у² - 100у + 2304 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-100)^2-4*1*2304=10000-4*2304=10000-9216=784;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√784-(-100))/(2*1)=(28-(-100))/2=(28+100)/2=128/2=64;y_2=(-√784-(-100))/(2*1)=(-28-(-100))/2=(-28+100)/2=72/2=36.

Отсюда находим 2 значения х = 8 и х = 6.
Но второй ответ не принимаем, так как медиана АМ получается равной √97.

ответ: длина медианы, проведенной к ОСНОВАНИЮ треугольника, равна √(100-64) = √36 = 6.