В треугольнике МNK проведена медиана NP. Найдите координаты вершины треугольника M, если заданы координаты К (3;1), N (-2;3), Р (2; 0,5). *

(0; 2) А
(2; 2) Б
(2; 0) В
(2; 1) Г
AB – диаметр окружности. Определите координаты центра окружности и запишите уравнение окружности, если A (1; 5) B (7; 3). *

(x – 4)2 + (у – 4)2 = 10 А
(x +4)2 + (у + 4)2 = 10 Б
(x – 2)2 + (у – 2)2 = 100 В
(x + 2)2 + (у + 2)2 = 100 Г

Определите радиус окружности с центром в точке А (4; 3), касающейся внешним образом окружности с центром в начале координат и радиусом 4. *

10 А
9 Б
8 В
7 Г

Точки А (-1;-2), В(1;-2), С(2;-5) – вершины параллелограмма. Найдите координаты точки D и периметр параллелограмма. *

D(0; 3), Р = 2(√3 + √15) А
D(0; 5), Р = 2(√2 - √10) Б
D(0; –5), Р = 2(√2 + √10) В
D(0; –3), Р = 2(√3 - √15) Г

Все очень просто, если бы не арифметика
Четырехугольник задан координатами его вершин, значит имеем дело с векторами. Выпуклый многоугольник - многоугольник, все углы которого меньше 180°.
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.
Для нахождения угла А: 
 1) находим координаты векторов АВ и АD (угол А между ними) :
     АВ={Xb-Xa;Yb-Ya} = {5-4;7-4} = {1;3}
     AD={12-4;4-4} = {8;0}
 2) Находим скалярное произведение векторов АВ и АD:
    AB*AD= Xab*Xad + Yab*Yad = 8+0=8
 3) Находим модули векторов АВ и АС:
    |AB| = √(X²+Y²) = √(1+9) = √10
    |AD| = √(64+0) = 8
CosA= AB*AD/(|AB|*|AD|) = 8/8√10 ≈ 0,316   Угол А ≈ 72°.
Для нахождения угла В:
 1) находим координаты векторов ВА и BС (угол В между ними) :
     BA={Xa-Xb;Ya-Yb} = {4-5;4-7} = {-1;-3}
     BC={10-5;10-7} = {5;3}
 2) Находим скалярное произведение векторов BA и BС:
    BA*BC= Xba*Xbc + Yba*Ybc = (-5)+(-9)= -14
 3) Находим модули векторов BA и BС:
    |BA| = √(X²+Y²) = √(1+9) = √10
    |BC| = √(25+9) = √34
CosВ= ВА*ВС/(|ВА|*|ВС|) = -14/√340 ≈ -0,759  Угол В ≈ 139°.
Для нахождения угла C:
 1) находим координаты векторов CB и CD (угол C между ними) :
         CB={5-10;7-10} = {-5;-3}
         CD={12-10;4-10} ={2;-6}
 2) Находим скалярное произведение векторов CB и CD:
    CB*CD= Xcb*Xcd + Ycb*Ycd = (-10)+(18)= 8
 3) Находим модули векторов CB и CD:
    |CB| = √(X²+Y²) = √(25+9) = √34
    |CD| = √(4+36) = √40
CosC= CB*CD/(|CB|*|CD|) = 8/36,88 ≈0,217  Угол C ≈ 77°.
 Для нахождения угла D:
 1) находим координаты векторов DC и DA (угол D между ними) :
         DC={10-12;10-4} = {-2;6}
         DA={4-12;4-4} ={-8;0}
 2) Находим скалярное произведение векторов DC и DA:
    DC*DA= Xdc*Xda + Ydc*Yda = (16)+(0)= 16
 3) Находим модули векторов DC и DA:
    |DC| = √(X²+Y²) = √(4+36) = √40
    |DA| = √(64+0) = 8
CosD= DC*DA/(|DC|*|DA|) = 16/16√10 ≈0,316  Угол D ≈ 72°.
 Все углы четырехугольника меньше 180°, значит он  выпуклый, что и надо было проверить.
Проверим арифметику: сумма углов нашего четырехугольника равна:
 72°+139°+77°+72° = 360°. На удивление, совпало.

1) P∈AA1. Смежные ребра куба пересекаются под прямым углом (AA1⊥A1D1).

2) AA1C1C - прямоугольник (сечение через два параллельных ребра), A1C1||AC. MN - средняя линия в ADC, MN||AC. MN||A1C1.

3) PN пересекает плоскость BCN в точке, не принадлежащей BC. Прямые скрещиваются.

4) B1D пересекает плоскость CC1D в точке, не принадлежащей CC1. Прямые скрещиваются.

5) AM пересекает плоскость CC1D в точке D, не принадлежащей CC1. Прямые скрещиваются.

6) N∈DC. Смежные ребра куба пересекаются под прямым углом (DC⊥CC1).

7) D1P и AD лежат в плоскости грани ADD1. Если точка P не совпадает с точкой A1, то D1P и AD пересекаются.