Дан треугольник ABC с вершинами А (11;-2;-9), В (2;6;-4) С (8;-6;-8). Докажите перпендикулярность векторов ав и ас.

ABCDA1B1D1C1- куб ребро которого равно 2. Найдите скалярное произведение векторов ВА1 и BC1

Сфера задана уравнением (x-4)^2+(y+2)^2+z^2=4. Проверьте принадлежит ли этой сфере точка А

В условии ошибка. Если сторона квадрата 24, то его диагональ 24√2 ≈ 34. Тогда в треугольнике ASC сторона АС больше суммы двух других сторон: 34 > 13 + 13, т.е. треугольник с такими сторонами не существует.

Встречается такая же задача с другими данными:

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Проведем SH⊥CD. Тогда CH = HD (треугольник SCD равнобедренный).

CH = HD = 1/2 CD = 5.

ΔSCH: ∠SHC = 90°, по теореме Пифагора:

              SH = √(SC² - CH²) = √(169 - 25) = √144 = 12

Sпов = Sосн + Sбок

Sосн = AD² = 10² = 100

Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 10 · 4 · 12 = 240

Sпов = 100 + 240 = 340 ед. кв.

Медианы АМ и СК треугольнике АВС перпендикулярны.  
Найти стороны треугольника, если АМ= 9, СК= 12.
Решение:
Медианы треугольника точкой пересечения О делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Дано: АМ=9, СК=12. Значит АО=9*(2/3)=6, ОМ=3, СО=12*(2/3)=8, ОК=4.
В прямоугольном треугольнике АОС (угол АОС=90° - дано) гипотенуза АС по Пифагору равна АС=√(АО²+ОС²) или АС=√(6²+8²)=10.
В прямоугольном треугольнике АОК (угол АОК=90° - дано) гипотенуза АК по Пифагору равна АК=√(АО²+ОК²) или АК=√(6²+4²)=2√13. АВ=2*АК, так как СК - медиана. АВ=4√13.
В прямоугольном треугольнике СОМ (угол СОМ=90° - дано) гипотенуза СМ по Пифагору равна СМ=√(ОМ²+ОС²) или СМ=√(3²+8²)=√73. ВС=2*СМ, так как АМ - медиана. ВС=2√73.
ответ: стороны треугольника равны АС=10; АВ=4√13≈14,4; ВС=2√73≈17.

Проверка:
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника.
Площадь одного из них равна Saok=(1/2)*6*4=12. значит Sabc=6*12=72.
В то же время по Герону Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника, а,b,c - его стороны. Полупериметр равен:
р=(2√73+4√13+10)/2=(√73+2√13+5).
Подставим найденные значения в формулу:
Sabc=√[(√73+(2√13+5))*(2√13+5-√73)*(√73+(5-2√13))*(√73-(5-2√13))]=
√[((2√13+5)²-73)*(73-(5-2√13)²)]=√[(52+25+20√13-73)*(73-25+20√13-52)]=
√[(20√13+4)*(20√13-4)]=√(5200-16)=72.
Итак, стороны треугольника найдены правильно.