В прямоугольном треугольнике ABC известно, что отрезок, соединяющий середины катетов AB и AC равен 37. Найдите длину медианы AM треугольника ABC .

Опустим из точки S перпендикуляры: SH на сторону BC и SF на сторону CD. 
SH - наклонная, AS - перпендикуляр, AH - проекция;
Согласно теореме, обратной теореме о 3 перпендикулярах, если BC перпендикулярно SH, то BC перпендикулярно AH, следовательно, AH - высота.
SF - наклонная, AS - перпендикуляр, AF - проекция;
Согласно теореме, обратной теореме о 3 перпендикулярах, если CD перпендикулярно SF, то CD перпендикулярно AF, следовательно, AF - высота.
Рассмотрим прямоугольные треугольники SAF и SAH:
1) AS - общая сторона;
2) AF=AH - т.к. высоты ромба;
Следовательно, треугольники равны по 2 катетам. Значит, SH=SF, т.е. точка S равноудалена от прямых BC и CD, что и требовалось доказать.

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов.

Углы 1 и 3 вертикальные. Вертикальные углы равны.
Углы 5 и 7 тоже вертикальные.
Углы 1 и 7 накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Соответственно углы 1,3,5,7 равны.

Аналогично: углы 2 и 4 вертикальные, углы 6 и 8 вертикальные, углы 4 и 6 накрест лежащие. Соответственно углы 2,4,6,8 равны.

Углы 1 и 2 смежные. Сумма смежных углов 180 градусов. 

По условию известен один угол 150 градусов, соответственно еще три угла равны 180 градусов, а оставшиеся четыре угла равны 180 - 150 = 30 градусов.

ответ: Всего при пересечении двух параллельных прямых секущей образуется восемь углов, половина из них 30 градусов, остальные 150 градусов.