CosA = 4/√42 ≈ 0,617.
CosB = 2/√30 ≈ 0,365.
CosC = 3/√35 ≈ 0,51.
Объяснение:
Если надо найти КОСИНУСЫ углов, то решение:
CosA = (Xab·Xac+Yab·Yac+Zab·Zac)/(|AB|·|AC|). (формула).
Координаты вектора AB = (0-2;1-(-1);3-1) = (-2;2;2).
Модуль АВ равен |AB| =√((-2)²+2²+2²) = 2√3.
Координаты вектора AC = (-1-2;1-(-1);0-1) = (-3;2;-1).
Модуль АC равен |AC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √14.
CosA =(6+4-2)/(√(12·14) = 8/(2√42) = 4/√42 ≈ 0,617.
∠A ≈ 52°
Аналогично:
CosВ = (Xba·Xbc+Yba·Ybc+Zba·Zbc)/(|BA|·|BC|).
Координаты вектора BA = (2-0;-1-1);1-3) = (2;-2;-2).
Модуль ВA равен |BA| = 2√3.
Координаты вектора BC =(-1-0;1-1);0-3) = (-1;0;-3).
Модуль BC равен |BC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √10.
CosB =(-2+0+6)/(√(12·10) = 4/(2√30) = 2/√30 ≈ 0,365.
∠B ≈ 69° .
CosC = (Xca·Xcb+Yca·Ycb+Zca·Zcb)/(|CA|·|CB|).
Координаты вектора CA = (-1-2;1-(-1);0-3) = (3;-2;1).
Модуль CA равен |CA| = √14.
Координаты вектора CB =(0-(-1);1-1);3-0) = (1;0;3).
Модуль BC равен |CB| =√(1²+0²+3)²) = √10.
CosC =(3+0+3)/(√(14·10) = 6/(2√35) = 3/√35 ≈ 0,51.
∠C ≈ 59°.
Проверка: ∠А +∠В +∠С = 52° + 69° +59° = 180°.
task/30246302 В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.
решение Для определенности пусть медиана BM , а высота BH . Координаты этой вершины B определяется в результате решения системы { x -5y +7=0 ; x + 4y-2= 0 . ⇔ {x-5y +7=0 ; 9y =9. ⇔{ x= -2 ; y= 1 . B(- 2; 1).
Уравнение стороны AC будет имеет вид y - 6 = k(x - 4) ; угловой коэффициент k определяется из k* k₁= - 1 , где k₁ угловой коэффициент прямой BH (т.к. AC⊥ BH ): x+4y -2=0 ⇔ y = (-1/4)x +1/2. ( k₁ = -1/4 ⇒ k = 4). y - 6 = 4(x - 4)
уравнение стороны AC : 4x - y - 10 = 0 . * * *(1/√17)*(4x -y -10) =0 * * *
Для определения координаты вершины С сначала определим координаты середины стороны AC (точка M) , а для этого достаточно решить систему уравнений ( уравнении прямых AC и BM) :
{ x- 5y +7=0 ; 4x - y - 10 = 0. ⇔ { x=3; y =2 . M(3 ; 2)
x(C) =2x(М)-x(A) =2*3-4 =2 ; y(C) =2y(М)-y(A) =2*2-6 =-2. C(2 ; -2)
* * * т.к. x(М)= ( x(A) + x(C) ) / 2 ; y(М)=( y(A) +y(C) ) / 2. * * *
Уравнение прямой AB: y-6=[(1-6):(-2 -4)]*(x -4) ⇔ 5x - 6y +16 =0.
Уравнение прямой BC: y-1=[(-2-1):(2 -(-2)]*(x -(-2)) ⇔ 3x+4y +2 =0.
Длина высоты BH (расстояние от точки B(-2 ; 1) до прямой AC ). Нормальное уравнение прямой AC: (4x - y - 10) /√17 = 0 * * * (4x - y - 10) /√(4²+ (-1)²) = 0 * * *
d = | 4*(-2) - 1 - 10 | / √17 = 0 . ⇔ d = 19 /√17= ( 19√17 ) / 17 .
