вариант

1.Даны точки А(-2;2), В(0;3) и С(-2,-1). АМ-медиана треугольника АВС.

а) Найдите координаты точки М. (2)

б)Найдите длину медианы АМ. (2)

2.Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС, если А(6;3),

В(9;-5), С(-3;-1). (4)

3.Окружность с центром в начале координат проходит через точку К(-3;-4). Найдите диаметр окружности. (3)

4. Даны точки А(1;5), В(-2;2), С(0;0) и Д(3;3). Докажите, что АВСД-параллелограмм. (5)

5. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а медиана, проведенная к другому катету, равна √73см. Найдите периметр треугольника. (4)

1) Вначале надо найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной заданной прямой 6x+8y-1=0.
Уравнение 6x+8y-1=0 преобразуем:
у = (-6/8)х + (1/8) или у = (-3/4)х + (1/8).
Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид у = (-1/к)*х + в.
у = (4/3)х + в.  
Для определения коэффициента в подставим координаты точки О:
-1 = (4/3)*1 + в,
в = -1 - (4/3) = -7/3.
Получаем уравнение у = (4/3)х - (7/3).

2) Находим точки пересечения окружности и перпендикулярной прямой.
Для этого решаем систему уравнений:
(х-1)²+(у+1)² = 4,
у = (4/3)х - (7/3).
Используя подстановки, получаем 2 точки касания:
А(-0,2; -2,6) и В(2,2; 0,6) или А((-1/5); (-13/5)) и В((11/5); (3/5)).

3) Находим уравнения прямых, проходящих через найденные точки параллельно заданной прямой 6x+8y-1=0 или у = (-3/4)х + (1/8).
У этих параллельных прямых коэффициенты перед х равны (-3/4), а коэффициенты в находим подстановкой координат точек касания А и В.
-13/5= (-3/4)*(-1/5) + в,
в = (-13/5) - (3/20) = -55/20 = -11/4.
Получаем уравнение первой прямой: у = (-3/4)х - (11/4).

3/5 = (-3/4)*(11/5) + в,
в = (3/5) + (33/20) = 45/20 = 9/4.
Получаем уравнение второй прямой: у = (-3/4)х + (9/4).

Если два треугольника имеют равный угол, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁, ∠А = ∠А₁.

Доказать: Sabc /Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) /  (A₁B₁ · A₁C₁) .

Доказательство:

Наложим треугольники так, чтобы угол А совместился с углом А₁, а стороны А₁В₁ и А₁С₁ лежали на лучах АВ и АС соответственно.

Проведем ВН - высоту ΔАВС. ВН является так же и высотой треугольника А₁ВС₁.

Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как их основания (стороны, к которым проведена высота):

Sabc / Sa₁bc₁ = AC / A₁C₁          (1)

Проведем С₁Н₁ - высоту ΔА₁В₁С₁. С₁Н₁ является так же и высотой треугольника АВС₁, значит

Sabc₁ / Sa₁b₁c₁  = AB / A₁B₁        (2)

Перемножим равенства (1) и (2):

(Sabc / Sa₁bc₁) · (Sabc₁ / Sa₁b₁c₁) = (AC / A₁C₁) · (AB / A₁B₁)

Так как Sa₁bc₁ и Sabc₁  это площадь одного и того же треугольника, она сокращается и получаем:

Sabc / Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) /  (A₁B₁ · A₁C₁)