AC меньше AB на 65 см. Найти AB​

Пусть МО⊥(АВС).
Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ.
ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

∠МАО = φ - угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника,
∠МАН = ∠МАК = α - угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника.
ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН - квадрат и АО - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.

Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.

Пусть а -  сторона квадрата АКОН.
Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата.
ΔАМО: АМ = AO / cos φ = a√2 / cos φ
ΔAMH: cos α = АН / AM =  a / (a√2 / cos φ) = cos φ / √2
sin α = √(1 - cos²α)

Ptkem = 16 см.

Объяснение:

В условии допущена описка.Площадь измеряется в кавдратных единицах, следовательно, площадь грани тетраэдра равна

S = 16√3 см².

Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние треугольники. Тогда сторону тетраэдра найдем из формулы площади правильного треугольника:

S = (√3/4)*a², где а - сторона треугольника.

а² = 4*S/√3 = 4*16√3/√3 = 64 см²  =>  a = 8см.

Точки T,K, и Е - середины ребер DB, DC и AC соответственно, следовательно, отрезки ТК и КЕ - средние линии треугольников - граней тетраэдра BDC и СDA и равны половинам сторон ВС и AD.

Построим сечение тетраэдра плоскостью ТКЕ.  Плоскость BDC пересекается плоскостью TKE по линии ТК, параллельной прямой ВС. Но прямая ВС принадлежит и плоскости АВС. Следовательно, плоскость АВС пересечется плоскостью ТКЕ, проходящей через точку Е по прямой ЕМ, параллельной прямой ВС, а отрезок ЕМ является средней линией треугольника АВС. ЕМ = 4см. Соединив точки Т и М (середины сторон АВ и BD), получим сечение тетраэдра плоскостью ТКЕ - четырехугольник ТКЕМ, все стороны которого равны между собой и равны 4 см.

Периметр сечения Ptkem = 4*4 = 16 см.