1. Точки A 1 i B 1 — проекцiї точок A i B на площину π. Пряма AB перетинає цю
площину в точцi C. Знайдiть довжину вiдрiзка AB, якщо AA 1 = 18см, BB 1 = 12см,
AC = 27 см.
2. Дано паралельні площини α і β. Через точку S, яка не належить жодній із них,
проведено прямі а і b, які перетинають площину α в точках A 1 і B 1 , а площину β —
в точках А 2 і B 2 , причому SA 1 = 8 CM, А 1 А 2 = 12 CM, A 2 B 2 = 25 CM. Знайдіть А 1 B 1 .

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Из суммы углов треугольника найдем угол С:

∠С=180º-45º-60º=75º

В прямоугольном ⊿ ВНС угол ВСН=90º-45º=45º

⊿ ВНС - равнобедренный, СН=ВН=ВС•sin 45º=(√3•√2):2

В ⊿  АНС сторона АС=СH:sin 60º

AC=[(√3•√2):2]:(√2):2=√2

АВ=ВН+АН

АН противолежит углу НСА, равному 90º-60º=30º

 АН=АС:2=(√2):2

АВ=(√3•√2):2+(√2):2=(√3+1):√2

––––––––––––

Или по т. синусов:

АВ:sin75=BC:sin60

sin 60º=(√3):2

sin 75º=(√3+1):2√2 ( из таблицы тригонометрических функций)

АВ:(√3+1):2√2=(√3):[(√3):2]⇒

AB=(√3+1):√2

--------------

или по т.косинусов

AB²=BC²+AC²- 2BC•AC•cos75º

cos 75º=(√3-1):2√2

AB²=3+2- 2√6•((√3-1):2√2)⇒

AB=√(2+√3)

Оба найденных значения АВ равны - проверьте, возведя их в квадрат.  

[√(2+√3)]²=[(√3+1):√2]²

1. При основании равнобедренного треугольника АВС углы могут быть только
острые. Следовательно, <EAK - тупой, как смежный с острым и может быть
только вершиной равнобедренного треугольника. 
Угол ВАС - внешний угол равнобедренного (дано) треугольника ЕАК при вершине
А, значит <BAC=2*<AKE (так как внешний угол равен сумме двух внутренних, не
смежных с ним, а углы АЕК и АКЕ равны, как углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда угол АКЕ равен половине угла ВАС.
В равнобедренном (дано) треугольнике РКС <PCK=<BAC - углы при основании равнобедренного треугольника АВС, а <PKC=<AKE, как вертикальные и равны 0,5*ВАС. Значит у равнобедренного треугольника РКС равные углы <PCK и <KCP, которые равны углу ВАС.
Итак, в треугольнике РКС два угла равны углу ВАС, а третий угол равен 0.5*ВАС и в сумме они равны 180°. Отсюда угол ВАС=180:2,5=72°.
Следовательно, углы треугольника АВС равны 72°, 72° и 36° (180°-72°-72°=36).
ответ: в треугольнике АВС угол А=72°, угол В=36° и угол С=72°.
2. а) Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные
треугольники. Значит ВС=СК=АD=DK (так как ВС=AD, как стороны параллелограмма).
Следовательно, АВ=СD=2*BC. Периметр параллелограмма дан.
Pabcd=2*(AB+BC)=2*(3ВC)=45. тогда ВС=7,5, а АВ=15.
ответ: Стороны параллелограмма АВ=CD=15, BC=AD=7,5.
б) Дано: (ВС+СК+ВК)-(AD+DK+AK)=3 или
ВС+СК+ВК-AD-DK-AK=3. ВС=AD, СК=КD. Значит ВК-АК=3, ВК=АК+3.
Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°.
Значит половины этих углов в сумме равны 90⁰.
Тогда треугольник АВК - прямоугольный с углом К=90° и по Пифагору имеем:
АВ²=АК²+ВК² или АВ²=АК²+(АК+3)² или 2АК²+6АК-216=0 или АК²+3АК-108=0.
Отсюда АК=(-3+√(9+432)/2=9. (Отрицательное значение не удовлетворяет
условию). ВК=9+3=12.
ответ: АК=9, ВК=12.

Можно решить с применением теоремы косинусов:
По теореме косинуов ВК²=ВС²+СК²-2*ВС*СК*Cosα (1), а АК²=АD²+DK²-2*AD*DK*Cos(180-α). AD=BC, DK=CK, Cos(180-α)=-Cosα.
Тогда АК²=BC²+CK²+2*ВС*СK*Cosα.(2).
Сложим (1) и (2): ВК²+АК²=4ВС² или ВК²+АК²=225. ВК=3+АК.
Тогда (3+АК)²+АК²=225.
Отсюда АК=9. ВК12.