В прямокутну трапецію вписане коло. Точка дотику ділить більшу
бічну сторону на відрізки 4 см і 9 см. Знайти площу трапеції.

Объяснение:

Определимся с условием задачи. Пусть нам дана сторона, которую мы примем за основание. Высота, проведенная к одной из боковых сторон, НЕ МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЬШЕ данной нам стороны, так как эта сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является данная нам высота.

Решение. Отложим на прямой "а" отрезок АС, равный данной нам стороне и найдем его середину М известным при циркуля и линейки без делений. Из точки А, как из центра, проводим окружность радиусом АН, равным данной нам высоте к боковой стороне и строим касательную прямую к этой окружности из точки С.  Отрезок АН - данная нам высота, так как радиус АН перпендикулярен касательной в точке касания. Теперь из точки М радиусом МВ, равным данной нам медиане, проводим окружность. Точка пересечения этой

окружности с касательной даст нам вершину В искомого треугольника.

Итак, мы построили треугольник АВС, в котором сторона АС, высота АН и медиана ВМ равны данным нам отрезкам.

На рисунке приведены три варианта построения с разными по величине данными отрезками..

Пусть высота будет h, часть третьей стороны от угла до основания высоты будет х, вторая часть третьей стороны от основания высоты до второго угла при основании тр-ка будет y.
Тогда h = x+y. По пифагору из двух прямоугольных тр-ков имеем: h² + x² =13, h²+y² = 10. имеем систему из трех уравнений. попробуем ее решить. x² + (x+y)² = 13; y² + (x+y)² = 10 или 2x²+2xy+y² = 13; x²+2xy+2y² = 10. Разделим одно уравнение на другое и получим: 20x²+20xy+10y² = 13x²+26xy+26y²; приводим подобные и имеем 7x²-6xy-16y² = 0. Решаем квадратное уравнение. Причем вспомним (для меня это было самое трудное), что если коэффмцмент b = 2k, то можно применять формулу:  x = (-k± √(k²-ac))/a. В нашем случае
х = (3y ± √(9y²-112y²)):7 =  (3y ± 11y):7 = 2y.
Итак, х = 2y, подставим в h = x+y и получим h = 3y. Подставим h в
h²+y² = 10 и получим 10y² = 10. Значит у = 1.
тогда третья сторона равна h = 2+1 = 3.