В остроугольном треугольнике MNK точка D – середина стороны MK. Докажите, что треугольник равнобедренный, если расстояния от точки D до других сторон треугольника равны.

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник АВС.

АВ=ВС – образующие.

BD– высота конуса, а также высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.

О–центр вписанной в треугольник АВС окружности и центр вписанного в конус шара.

ОD=r .

AD=R .

Из прямоугольного треугольника

tg∠OAD = tg(α/2) = r/R . Отсюда r = Rtg(α/2).

ОА– биссектриса угла ВAD, так как центр вписанной в треугольник окружности– точка пересечения биссектрис.

Высота конуса H = R/tg(α/2).

V(шара) = (4/3)πr³ = (4/3)πR³tg³(α/2).

V(конуса)=(1/3)S(осн)·H=(1/3)·πR²·R/tg(α/2) = (1/3)·πR³/tg(α/2).

Разделим V(конуса) на V(шара).

V(конуса) / V(шара) = ( (1/3)·πR³/tg(α/2)) / ((4/3)πR³tg³(α/2)) = 4tg³(α/2)tgα.

ответ: V(конуса) = V(шара) / (4tg³(α/2)tgα).

1) Наверное, все-таки, РАВНЫЕ отрезки, а не РАЗНЫЕ ?..))
   По теореме Фалеса параллельные прямые откладывают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как оба отрезка равны, то прямая, проведенная через концы этого отрезка будет параллельна основанию треугольника и, следовательно, будет перпендикулярна медиане к основанию. Последнее следует из того, что в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также биссектрисой угла при вершине и высотой данного треугольника.
Так как данный отрезок перпендикулярен медиане и делится ей пополам так же, как и основание, можно утверждать, что расстояния от концов отрезка до любой точки на медиане будут равны между собой.

2) Так как CED - равнобедренный, то ∠ECD = ∠EDC =>
                                                           ∠ECM = ∠MCD = ∠EDH = ∠HDC
Тогда ΔHDC = ΔMCD по стороне и двум углам:
                                   (CD - общая, ∠HDC = ∠MCD, ∠HCD = ∠MDC)
Отсюда следует, что HC = MD.

В ΔСАН и ΔMAD:  HC = MD, ∠HCM = ∠MDA, ∠MAD = ∠HAC  =>
эти треугольники равны по стороне и двум углам