напишите уравнение сферы диаметром, равное 9, с центром А (1; 2; 3)

Найдём сторону a правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом R:

 

,

 

где , n — число сторон правильного многоугольника.

 

Для правильного треугольника имеем: .

 

Найдём сторону A правильного многоугольника, описанного около окружности с радиусом r:

 

.

 

Для частного случая правильного треугольника:

 

Окружность у нас одна и та же (R = r).

 

Находим отношение сторон:

 

 

Итак, сторона описанного равностороннего треугольника в два раза больше вписанного.

 

Площадь равностороннего треугольника со стороной a:

 

,

 

где h — высота треугольника, .

 

 

Следовательно, площади относятся друг к другу как квадраты сторон.

 

 

P.S. Решения правятся только со второй-третей попытки.

1) 
АС - диагональ и делит параллелограмм на два равных треугольника. 
Можно вычислить площадь треугольника АВС по ф.Герона. 
А можно вспомнить. что треугольник со сторонами 5,12, 13 - из Пифагоровых троек, которая, наряду с треугольниками, имеющими отношение сторон 3:4:5 встречается в задачах наиболее часто. 
Пифагорова тройка— комбинация из трёх целых чисел , удовлетворяющих соотношению Пифагора: с²=a²+b²
Следовательно, ∆ АВС - прямоугольный, и его площадь равна половине произведения катетов:
S ∆ FDC=5•12=60:2=30
Параллелограмм состоит из двух таких треугольников. 
S (ABCD)=2•30=60 (ед. плодащи)
2)
Одна из формул для нахождения площади треугольника:
S=a•b•sin α, где а и b - стороны, α - заключенный между ними угол. 
Синус 45º=√2):2
S=10•2•√2):2=5√2 (ед. площади)