В прямоугольном треугольнике угол В равен 90°. АВ = 5см, угол С = γ, найдите ВС.

Два угла треугольника равны 40° и 52°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

- - -

Дано :

ΔАВС.

∠А = 40°.

∠В = 52°.

ВН₁ и АН₂ - высоты.

Точка О - ортоцентр (точка пересечения высот).

Найти :

∠АОВ = ? (или ∠Н₁ОН₂, не важно, так как они равны как вертикальные).

Решение :

Немного о расположении ортоцентра О :

Для начала найдём ∠С.

По теореме о сумме углов треугольника -

∠А + ∠В + ∠С = 180°

∠С = 180° - ∠А - ∠В

∠С = 180° - 40° - 52°

∠С = 88°.

Так как все углы ΔАВС - острые, то ортоцентр О лежит внутри ΔАВС.

- - -

Рассмотрим ΔСВН₁ - прямоугольный (так как ∠ВН₁С = 90° по определению высоты треугольника).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Тогда -

∠Н₁СВ + ∠Н₁ВС = 90°

∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ

∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ

∠Н₁ВС = 90° - 88°

∠Н₁ВС = 2°.

Теперь рассмотрим ΔОВН₂ - прямоугольный (так как ∠ОН₂В = 90°).

По выше сказанному -

∠ВОН₂ + ∠ОВН₂ = 90°

∠ВОН₂ = 90° - ∠ОВН₂

∠ВОН₂ = 90° - 2°

∠ВОН₂ = 88°.

- - -

∠ВОН₂ и ∠АОВ - смежные.

Сумма смежных углов равна 180°.

Следовательно -

∠ВОН₂ + ∠АОВ = 180°

∠АОВ = 180° - ∠ВОН₂

∠АОВ = 180° - 88°

∠АОВ = 92°.

ответ :

92°.

Диаметр АВ делит своими концами окружность пополам, следовательно, дуга ADB=180°. Центральный угол АОD=30°, значит <DOB=180°-30°=150°.
Итак, точка D делит дугу АDB на два отрезка в отношении AD:DB=1:5.
Дуга ADB=(1/2)*2πR=πR. R=4 (дано). Значит дуга АDB=4π, тогда
дуга DB= (4π/6)*5=(3и1/3)*π (так как AD:DB=1х:5х, а дуга ADB=6x).
Дуга DACB=8π-(3и1/3)π=(4и2/3)π
Если принять π=3, то DB=10, а DACB=14.

Или через формулу длины дуги:  L=πR*n/180, где n - центральный угол, опирающийся на эту дугу. В нашем случае центральный угол BOD равен 180°-<AOD или <BOD=180°-30°=150° (так как АВ - диаметр).
Тогда длина дуги BD  Lbd=π4*150/180=(3и1/3)*π. Соответственно длина дуги DACB=(4и2/3)π.
ответ: Точки В и D делят окружность на дуги (при π=3) на
BD=10 и ACBD=14.