Найдите значение выражения
sin120°cos30°+cos120°tg45°

Вариант 1).  Рассмотрим рисунок 1, данный в приложении. Пусть АВСD - данный квадрат, М - точка касания квадрата и сферы, О - центр сферы. По условию ОА=ОВ=ОС=ОD=8 см. По т. Пифагора R=ОМ=√(ОА²-МА²) Диагональ  АС квадрата – гипотенуза двух равных прямоугольных  равнобедренных треугольника с катетами 8 см и острыми углами 45°. и равна 8:sin45•=8√2. ⇒ AM=AC:2=4√2 ⇒ Искомый радиус OM=√(64-32)=4√2 см.

                                               *  *  *

Вариант 2). Возможно, квадрат касается сферы сторонами. Тогда решение будет другим. (см. рис.2)

Квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы (сторонами). Вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.

Квадрат касается  сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.

 r=8:2=4 см

Пусть  центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет Н. 

Расстояние от центра О сферы до вершины С квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника ОНС, в котором НС - половина диагонали квадрата, ОН - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)

Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. НС =(8√2):2=4√2

По т.Пифагора 

ОH²=OC²-HC²64-32=32

Обозначим точку касания квадрата и сферы Р. 

Тогда R=ОР=√(OH²+PH²)=√32+16)=√48=4√3 см

Для этого надо составить уравнения сторон в виде у = кх + в.
У параллельных прямых коэффициенты "к" равны.
Сторона АВ:
Уравнение прямой:
Будем искать уравнение в виде y = k · x + b .
В этом уравнении:
k - угловой коэффициент прямой (k = tg(φ), φ - угол, который образует данная прямая с положительным направлением оси OX);
b - y-координата точки (0; b), в которой искомая прямая пересекает ось OY.
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - (-6)) / (4 - (2)) = 4;
b = yB - k · xB = 2 - (4) · (4) = yA - k · xA = -6 - (4) · (2) = -14 .
Искомое уравнение: y = 4 · x  - 14 .

Сторона ВС:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (5 - (2)) / (-2 - (4)) = -0.5;
b = yB - k · xB = 5 - (-0.5) · (-2) = yA - k · xA = 2 - (-0.5) · (4) = 4 .
Искомое уравнение: y = -0.5 · x + 4 .

Сторона СД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (5)) / (-3 - (-2)) = 4;
b = yB - k · xB = 1 - (4) · (-3) = yA - k · xA = 5 - (4) · (-2) = 13 .
Искомое уравнение: y = 4 · x + 13 .

Сторона АД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (-6)) / (-3 - (2)) = -1.4;
b = yB - k · xB = 1 - (-1.4) · (-3) = yA - k · xA = -6 - (-1.4) · (2) = -3.2 .
Искомое уравнение: y = -1.4 · x  - 3.2 .

Уравнения сторон АВ и СД имеют одинаковые коэффициенты "к", поэтому заданный четырёхугольник - трапеция.