Трикутник LMN, вписаний у коло, ділить його на три дуги. Обчисли кут LON і кути трикутника LMN, якщо дано два центральні кути: ∠LOM = 110° та ∠NOM = 150

1) В треугольниках АВС и ADC  углы В и D прямые. Значит, при наложении их стороны совпадут.
Совместим их так, чтобы луч ВА совпал с лучом DC, а луч ВС совпал с лучом DA.
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны, то совпадут и отрезки АВ и СD, и ВС и AD.
Тогда совпадут и третьи стороны треугольников.
Треугольники совпали при наложении, значит они равны.

2) АВ = CD и ВС = AD как противоположные стороны прямоугольника,
∠АВС = ADC = 90°, ⇒
ΔАВС = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними ( по первому признаку)

АС - общая сторона треугольников АВС и ADC,
∠ВАС = ∠DCA как накрест лежащие при пересечении АВ║CD секущей АС,
∠ВСА = ∠DAC как накрест лежащие при пересечении ВС║AD секущей АС, ⇒ ΔАВС = ΔCDA по стороне и двум прилежащим к ней углам ( по второму признаку)

Пусть прямоугольник ABCD и точка пересечения его диагоналей (центр круга) - О. Прямой угол, вписанный в круг, опирается на диаметр. Значит диагонали прямоугольника (которые, кстати, равны и в точке пересечения делятся пополам) будут диаметрами круга. Т. е. нам нужно найти половину диагонали прямоугольника, которая и будет равна радиусу описанного круга. Треугольник BOC равносторонний (сделайте рисунок) , т. к. его боковыми сторонами являются половины равных диагоналей прямоугольника и угол при вершине равен 60° (углы при основании равны (180-60)/2=60°, т. е. все углы треугольника равны) . Поэтому радиус круга будет равен стороне прямоугольника: 6 см. Возможно, в задаче будет 2 решения - в зависимости от того, какой угол между диагоналями рассматривать. Но во втором случае - по аналогии