Пусть основания а и b
По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны(если неизвестно, откуда это - это следствие того, что касательные из одной точки к окружности равны). Поэтому
a+b=16; (a+b)/2 = 8;
Средняя линяя дели трапецию на ДВЕ ТРАПЕЦИИ с равными высотами и основаниями a,8 и 8,b, то есть отношение их площадей равно отношению сумм оснований (ну, полусумм:) без разницы)
(b+8)/(a+8) = 5/11;
Раз нам надо ТОЛЬКО большее основние а, полагаем b = 16 - a, имеем
(24 - а)/(а + 8) = 5/11;
а = 14;
а чему равно b, не скажу :)))
Пусть даны два отрезка а и m и угол α. Надо построить ΔАВС такой, что ВС = а, ΔBCD АВ + АС = m.
Решение возможно лишь при а < m т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.
Построим ΔBCD по двум сторонам (BD = m, ВС = а) и углу между ними (∠В = α).
Проведем серединный перпендикуляр от CD, он пересечет BD в точке А. AD = АС. Получаем искомый ΔBCD, где ВС = а, ΔBCD В = α, АВ + АС = m, т.к. АС = AD.
Если m = а, то в ΔBCD ∠С будет больше ∠D. Серединный перпендикуляр d к стороне CD по теореме 1.1. должен пересекать либо сторону ВС, либо СD.
Докажем, что серединный перпендикуляр пересекает именно BD.
Допустим, d пересекает сторону ВС в точке М, а прямую BD в точке K. Т.к. KD > BD, то ∠KCD < ∠BCD.
По свойству серединного перпендикуляра ΔDKC — равнобедренный, таким образом, ∠KCD = ∠D, но тогда ∠D > ∠BCD (т.к. m > a), то есть в ΔBCD ∠D < ∠С. Противоречие, т.е. d пересекает именно ВD.
Таким образом, задача имеет единственное решение.
