1.В прямокутному трикутнику АВС( кут С=90⁰), АВ = 4 см, АС = см. Знайдіть АВС.
2. Менша основа трапеції дорівнює її більшої основи. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її більша основа дорівнює 12 см.
3. Точки М і Р лежать відповідно на сторонах АВ і ВС трикутника АВС, причому МР || АС. Знайдіть довжину сторони АС, якщо РС = 8 см, ВС = 12 см, МР = 6 см.
4. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см, а одна з його сторін 8 см. Знайдіть периметр прямокутника.
5. З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких дорівнюють 15 см і 20 см. Знайдіть відстань від даної точки до прямої, якщо різниця проекцій похилих на цю пряму дорівнює 7 см.
6. Кінці діаметра кола віддалені від дотичної до цього кола на 12 см і 22 см. Знайдіть діаметр кола.
7.Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить її на відрізки у відношенні 9 : 16. Менший катет дорівнює 45 см. Знайдіть площу трикутника.

В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.

Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание  перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.

Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA               y - yA                 z - zA

xB - xA           yB - yA               zB - zA

xC - xA          yC - yA               zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

  x - 1            y               z - (-1)

  1 - 1         2 – 0           0 - (-1)

  0 - 1         0 – 1          -2 - (-1) = 0

 x - 1        y       z + 1 |       x - 1        y

 0             2          1    |         0           2

-1           -1          -1    |        -1          -1     =  

= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =

= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.

Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).

((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

Координаты, которые имеет точка М пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

{3x + y – 2z – 5 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).

-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).

Подставим их в уравнение плоскости.

3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,

3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,

(14/3)x = 28/3,

x = 28/14 = 2,

y = (1/3)*2 – (11/3) =  -9/3 = -3,

z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.

Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.

Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.

М(2; -3; -1).

Напишу на русском, с украинской мовой я не очень. 

Заметим, что если провести из любой вершины высоту, то она будет и биссектрисой и медианой одновременно. Также точка пересечения медиан будет совпадать с точкой пересечения биссектрис и высот (так как в правильном треугольнике медианы биссектрисы и высоты, проведенные из одной вершины совпадают). А медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2 к 1, начиная от вершины. Теперь отрезок медианы от точки пресечения медиан до вершины будет радиусом описанной окружности. А отрезок медианы от точки пересечения медиан до основания (стороны, к которой проведен) будет радиусом вписанной окружности. Значит половина длины радиуса описанной окружности равна длине радиуса вписанной окружности. То есть 8:2=4 см. 

ответ: радиус вписанной окружности равен 4 см.