1. Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 12 см та 5 см. Знайти площу її повної поверхні, якщо діагональ грані, яка містить гіпотенузу, нахилена до основи під кутом 60°.

2. Твірна конуса становить 4 см і дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу. Знайти об’єм конуса.

3. Знайти площу повної поверхні циліндра, який утворюється обертанням прямокутника з сторонами 4 см та 8 см навколо більшої сторони.

4. Усі ребра правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 6 см. Знайти її об’єм.

5. Об’єм кулі дорівнює 4000π / 3 см². На якій відстані від центру проведений переріз, площа якого 36π см²?

​

Проведём высоту из большего угла параллелограмма
1)Т.к. меньший угол равен 30° и из большего угла проведена высота то по св - ву прямоугольная треугольника получаем что высота равна 15 см.
S=a×huge
S= 52×15=780см
2) Т.к дерево и человек стоят перпендекулярно дороге и угол падения тени дерево и человека равно то треугольники подобны (большой треугольник от дерева до тени человека, маленький от чельвека до своего тени). Т.к. треугольники подобны то составиможно пропорции
Дерево/человек= тень дерева+ тень человека/тень человека
Дерево=5×1,75=8,75м

Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.

Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок).
Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.

Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.

ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.