1. Если треугольники подобны, то отношения сторон у них равны.
Пусть х - коэффициент пропорциональности.
Тогда стороны треугольника 2x, 5x, 4x.
Меньшая сторона 2х = 22, тогда
х = 11 см
Большая сторона равна 5х:
11 · 5 = 55 см
2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Если сходственные стороны относятся как 3 : 5, то
Sabc : Smnp = 9 : 25
Учитывая, что Smnp = Sabc + 16, получаем уравнение:
Sabc : (Sabc + 16) = 9 : 25
25·Sabc = 9·Sabc + 144
16·Sabc = 144
Sabc = 9 см²
3. Пусть х - сторона квадрата.
Из треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и диагональю по теореме Пифагора:
x² + x² = 16²
2x² = 256
x² = 128
x = 8√2 см
Р = 8√2 · 4 = 32√2 см
4. Из прямоугольного треугольника ACD по теореме Пифагора найдем АС:
АС = √(AD² - CD²) = √(225 - 64) = √161
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведенную к ней высоту:
Sabcd = CD · AC = 8 · √161 = 8√161 см²
5. ΔАВН: ∠Н = 90°, ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°. Напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, АН = АВ/2 = 4 см.
По теореме Пифагора ВН = √(АВ² - АН²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см
АН : HD = 2 : 3, ⇒ HD = 6 см.
HBCD - прямоугольник, ⇒ ВС = HD = 6 см.
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH = (10 + 6)/2 · 4√3 = 32√3 см
6. ΔACD прямоугольный, DE его высота. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
DE² = AE · EC = 8 · 4 = 32
DE = √32 = 4√2 см
ΔAED: по теореме Пифагора
AD = √(AE² + ED²) = √(64 + 32) = √96 = 4√6 см
ВС = AD = 4√6 см
ΔCDE: по теореме Пифагора
CD = √(EC² + ED²) = √(16 + 32) = √48 = 4√3 см
АВ = CD = 4√3 см
а) АВ : ВС = 4√3 / (4√6) = 1/√2 = √2/2
б) Pabcd = (AB + BC)·2 = (4√3+ 4√6)·2 = 8·(√3 + √6) см
в) Sabcd = AB·BC = 4√3 · 4√6 = 16√18 = 48√2 см
7. Так как треугольники подобны,
BC : BD = BD : AD
BD² = BC · AD = 8 · 12,5 = 100
BD = 10 см
8. Треугольник АВС равнобедренный, медиана ВН является и высотой.
Из ΔАВН по теореме Пифагора:
ВН = √(АВ² - АН²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины:
ВО : ОН = 2 : 1, ⇒ ОН = ВН/3 = 8 см
Из треугольника АОН по теореме Пифагора:
АО = √(ОН² + АО²) = √(64 + 49) = √113 см
АО = 2/3 АМ
АМ = √113 · 3/2 = 3√113/2 см
В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам равны, значит
СК = АМ = 3√113/2 см
В условии ошибка: ВС ║AD, а не АС, так как параллельные прямые не могут проходить через одну точку.
BF = DE по условию,
∠AED = ∠CFB по условию,
∠CBF = ∠ADE как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей BD, ⇒
ΔCBF = ΔADE по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит CF = AE,
BE = BF - EF, DF = DE - EF, а так как BF = DE, то и BE = DF,
∠CFD = ∠AEB как смежные с равными углами (∠AED = ∠CFB по условию),
значит ΔCFD = ΔAEB по двум сторонам и углу между ними.
Тогда ∠АВЕ = ∠CDF, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых АВ и CD секущей BD, значит АВ║CD.
