1. Найдите площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы с ребром 3.

2. Осевое сечение цилиндра квадрат, площадь которого равна 16. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.

3. Диагональным сечением четырехугольной пирамиды служит правильный треугольник со стороной, равной 1. Найдите объем пирамиды.

4. На поверхности шара даны три точки. Расстояние между ними 6, 8, 10. Радиус шара 13. Найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.

5. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 и 4√3 см, а боковая грань наклонена к плоскости большего основания угол 60°.Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды​

По формуле Герона вычислим площадь треугольника

полупериметр

p = (40 + 40 + 48)/2 = 40 + 24 = 64 см

Площадь

S² = p(p-a)(p-b)(p-c) = 64*(64-40)(64-40)(64-48) = 64*24²*16

S = √(64*24²*16) = 8*24*4 = 768 см

---

Радиус описанной окружности

R = abc/(4S) = 40*40*48 / (4 * 768) = 10 * 40 * 2 / 32 = 5 * 5 = 25 см

---

ΔАВЦ - равнобедренный, т.к. две его стороны - это радиусы описанной окружности ΔАВД

ЦБ - высота ΔАВЦ, одновременно и его биссектриса и сторону АВ делит пополам

БВ = АВ/2 = 48/2 = 24 см

По т. Пифагора для синего треугольника

БЦ² + БВ² = ВЦ²

х² + 24² = 25²

x² = 25² - 24² = (25 + 24)(25 - 24) = 49

x = 7 см

---

Аналогично по т. Пифагора для малинового треугольника

у² + 20² = 25²

y² = 25² - 20² = (25 + 20)(25 - 20) = 45*5 = 9*25

y = 3*5 = 15 см

У колі з радіусами АО і ОВ пряма а проходить через середини радіусів так, що ОЕ = ОА/4. Оскільки відстань - це перпендикуляр, маємо прямокутний трикутник КОЕ та РОЕ. З прямокутного трикутника КОЕ: ОК = ОА/2, ОЕ = ОА/4. Тобто, катет ОЕ у два рази менший за гіпотенузу ОК. Катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить проти кута 30 градусів. Тобто, кут ОКЕ = 30 градусів. Кут КОЕ = 90 - 30 = 60 градусів. Трикутники КОЕ та РОЕ рівні за прямим кутом та гіпотенузою, тобто кути КОЕ та РОЕ рівні і дорівнюють по 60 градусів. Кут АОВ = <KOE + <POE = 60 + 60 = 120 градусів.