Составьте уравнение окружности
а) с центром в точке О(3,5) и радиусом =2
б) с центром О(0,0) и радиусом =3
е) постройке данные окружности на координатной плоскости (за единичный отрезок примите длину одной клетки)
в) выяснить взаимное расположение данных окружностей (не пересекаются, касаются, пересекаются)

а) Для доказательства того, что MN перпендикулярно CБ1, мы будем использовать свойство прямоугольной призмы, которое гласит, что диагонали граней прямой призмы взаимно перпендикулярны. Докажем это.

Предположим, что точка P – точка пересечения прямой MN и ребра CБ1, и докажем, что угол C1PB1 прямой.

Обозначим длину бокового ребра призмы как a. Исходя из условия задачи, длина ребра БС равна a, а длина ребра А1С1 равна 2a.

Также обозначим:

А1М = МК = КС1 = х (половина длины ребра А1С1)

А1N = NR = RC1 = y

CN = 3y (по условию задачи, СN : НB = 1 : 3)

Для начала, найдем длины отрезков МP и NP.

Так как М – середина ребра А1С1, то А1М = МК = х.

Из треугольника MNP получаем, что длина отрезка МP равна:

МP = А1М + А1N = х + y.

Далее, нам нужно установить соотношения между длинами сторон треугольников C1ПВ1 и CМN. Рассмотрим их по отдельности.

Согласно условию задачи, длина ребра БС (а) в два раза больше длины бокового ребра призмы (a). Отсюда следует, что длина отрезка BN равна:

BN = 2a.

Из условия CN : NB = 1 : 3 получаем:

CN = 3y.

Из треугольника C1ПВ1 вытекает, что длина отрезка BV1 равна:

BV1 = BV1 + V1П = 3y + 2y = 5y.

Из треугольника CМN также можно установить соотношения между длинами его сторон.

Из треугольника CМN получаем:

CМ = CN – МN = 3y – х.

Суммируем длины сторон CМ и МN:

CМ + MN = CМN

3y – х + (х + y) = 3y

y = 0.

Из этого следует, что y = 0, что означает, что точка N совпадает с точкой С. Тогда СN = 3y = 0.

Значит, МP = х + y = х + 0 = х.

Это означает, что отрезок МP равен половине длины ребра А1С1 (М – середина ребра А1С1). В результате этого МP параллелен ребру А1С1.

Таким образом, угол C1PB1 является прямым углом, а это значит, что отрезок MN перпендикулярен ребру CБ1.

б) Теперь решим вторую часть задачи и найдем угол между прямой МN и плоскостью основания А1Б1С1.

Из условия задачи известно, что АА1:АБ = 1:√7.

Обозначим угол между плоскостью А1Б1С1 и прямой MN как α.

Поскольку прямая МN перпендикулярна ребру CБ1, то α – угол между прямой МN и диагональю плоскости А1С1.

Таким образом, нам нужно найти угол между прямой MN и диагональю плоскости А1С1.

Учитывая, что в треугольнике АА1В углы ∠AB(градусов) и ∠BAA1 равны, а ∠BAA1 = 90 – α (как раз искомый угол), а ∠AB = 180 – 90 = 90, мы можем записать соотношение:

∠AB : ∠BАА1 = АА1:АВ
90 : (90 – α) = 1 : √7.

Домножим обе части этого соотношения на √7(90 – α):

90(√7) = (90 – α).
90√7 = 90 – α.
90 – 90√7 = α.

Таким образом, угол между прямой MN и плоскостью основания А1Б1С1 равен 90 – 90√7 градусов.

Для того чтобы доказать, что точка b лежит на биссектрисе угла mak, нам необходимо убедиться, что угол mbk равен углу mak.

Посмотрим на данную ситуацию. У нас есть треугольник mba, в котором угол mba равен 50°. Также известно, что перпендикуляры bm и bk к сторонам угла равны между собой.

Посмотрим на треугольник mbk. По условию, у нас имеется перпендикуляр bm, который равен перпендикуляру bk.

Так как у нас имеется две равных стороны в треугольнике mbk - это бм и bk, то это значит, что у нас имеется равнобедренный треугольник mbk.

Теперь посмотрим на угол mbk. В равнобедренном треугольнике, биссектриса угла делит противолежащую сторону пополам, то есть угол mbk будет равен углу mak.

Таким образом, мы доказали, что точка b лежит на биссектрисе угла mak, и угол mbk равен углу mak.

Теперь для того, чтобы найти угол mak, необходимо использовать известное значение угла mba.

Мы знаем, что угол mba равен 50°. И так как угол mbk равен углу mak, то у нас получается, что угол mbk также равен 50°.

Таким образом, мы определили, что угол mak равен 50°.

Итак, точка b лежит на биссектрисе угла mak, а угол mak равен 50°.