Даны точки C(1;2; 1) ,A(1;3;0) , B(2;3; 1) . Вычислите угол между векторами AС и АB .

Из вершины равностороннего треугольник АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если АD=1 м, ВС=8м?
                                        ***
Треугольник равносторонний, следовательно, все углы в нем равны 60º. Искомое расстояние - это отрезок DН, проведенный перпендикулярно ВС. 
DН - наклонная и ее основание Н по теореме о трех перпендикулярах совпадает с основанием высоты АН треугольника АВС, которая является проекцией наклонной DН. 
АН можно найти по т.Пифагора или с синуса 60º - результат будет одинаковым: 
АН=АС*sin 60º=(8*√3):2=4√3 
Т.к.АD - перпендикуляр, треугольник АDН - прямоугольный.  
По т.Пифагора
DН=√(AD²+AH²)=7 м 
или 
DН=√(DB²-BH²) 
ВD²=(AB²+AD²)=65 
DН=√(65-16)=√49=7м

Один из углов равнобедренной трапеции равен 150°.                          Вычисли площадь трапеции, если её меньшее основание равно 13 см , а боковая сторона равна 40√3 см.                                                                                

Дано:

ABCD _равнобедренная  трапеция

AD ||  BC ;

∠ABC =∠DCB  =150° ;

AD  > BC = 13 см ;

AB  = DC =40√3 см,                                                                                                

S  = S(ABCD)  -?

ответ: площадь трапеции равно  1260√3 см² .

Объяснение:    AD || BC   ( AD |и BC  основания трапеции ABCD ) , поэтому   ∠A+∠ABC =180°

∠A = 180° -∠ABC =180° -150° =30°.

[  Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°. ]

Проведем BE ⊥ AD и CF ⊥  AD  .   Получается прямоугольник BEFC , еще два треугольникa  ABE   и  DCF .

Рассмотрим ΔABE :  

BE =AB/2 как катет против угла A=30°; BE =AB/2 = 20√3  (см)

По теореме Пифагора :  AЕ =√(AB²- BE²)

AЕ =√( (40√3)² - (20√3)² ) =√( (20√3)² (4 - 1) ) =20√3 *√3 =20*3 =60 (см)

ΔABE  =  ΔDCF   по катету и гипотенузе (  BE = CF и  AB =DC )

[ Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.  ]

⇒ AE =DF =60 см

S =0,5(AD +BC) *BE =0,5(AE +EF +FD +BC) *BE =

= 0,5(AE +EF +FD +BC) *BE =0,5(2AE +2BC) *BE = (AE+BC)*BE =

=(60 +13)*20√3 =73*20√3 = 1460√3 (cм²) .

Удачи !