Применение геометрического смысла производной

A(-2;1), B(1;4), C(5;0), D(2;-3)
1) Находим длины сторон и длины диагоналей четырехугольника по формуле:
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²).
Длины сторон:
|AB|=√((1+2)²+(4-1)²)=√(3²+3²)=√18=3√2;
|BC|=√((5-1)²+(0-4)²)=√(4²+(-4)²)=√(16+16)=√32=4√2;
|CD|=√((2-5)²+(-3-0)²)=√((-3)²+(-3)²)=√(9+9)=√18=3√2;
|AD|=√((2+2)²+(-3-1)²)=√(4²+(-4)²)=√(16+16)=√32=4√2.
Длины диагоналей:
|AC|=√((5+2)²+(0-1)²)=√(7²+(-1)²)=√(49+1)=√50=5√2;
|BD|=√((2-1)²+(-3-4)²)=√(1²+(-7)²)=√(1+49)=√50=5√2.
Противоположные стороны четырехугольника равны AB=CD и AD=BC, значит четырехугольник ABCD - параллелограмм (признак параллелограмма).
Диагонали параллелограмма равны AC=BD, значит параллелограмм ABCD - прямоугольник (признак прямоугольника).
Таким образом, четырехугольник ABCD - прямоугольник.

№1. ΔABC - прямоугольный, АВ=7 см, ВС=7√3 см.
1) По т.Пифагора  СА=√(АВ²+ВС²)=√(7²+(7√3)²)=√(49+147)=√196=14 (см).
2) sin∠C=AB/AC=7/14=1/2, ∠C=30°.
ответ: 14 см; sin∠C=1/2, ∠C=30°.
№2. 1) ΔAHB - прямоугольный, tg∠B=BH/AH, ⇒AH=BH/tg∠B=4/tg50°;
2) ΔCHB - прямоугольный, tg∠C=BH/HC, ⇒HC=BH/tg∠C=4/tg70°;
3) AC=AH+HC=4/tg50°+4/tg70°.
Для приблизительного вычисления стороны АС можно воспользоваться таблицами Брадиса для тангенса: tg50°≈1,1918; tg70°≈2,747.
AC=4/1,1918+4/2,747≈3,4+1,5=4,9 (см).
ответ: 4/tg50°+4/tg70°≈4,9 (см).