Решите Из вершины угла ABC проведѐн луч BK так, что расстояние от точки K до стороны
BA равно расстоянию от точки K до стороны BC. Угол KBA равен 25°. Найдите
величину угла ABC.

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.
а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.
б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.
Решение.
а) Назовем центры окружностей O_1 и O_2, точки касания с внешней касательной K и N соответственно, точки касания с внутренними — за L, L_1, M, M_1, точку пересечения внутренних касательных и линии центров за T. (см. рисунок). Очевидно, O_1KNO_2 — прямоугольная трапеция. Опустим из середины O_1O_2 перпендикуляр на KN — это будет средняя линия, поэтому для отрезка KN это будет серединный перпендикуляр. Осталось доказать, что KA=NB, тогда и для отрезка AB это будет серединный перпендикуляр.
Для этого воспользуемся следующим фактом: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Значит, AM_1=AN, BL_1=BK, L_1M=LM_1 (по два отрезка из точки T). Тогда:
AK=BK минус BA=BL_1 минус BA=BM плюс ML_1 минус BA=
=BN плюс LM_1 минус BA=BN плюс AM_1 минус AL минус BA=
=BN плюс AN минус AL минус BA=
=BN плюс AN минус BA минус AK=BN плюс BN минус AK.
Итак, AK=2BN минус AK, откуда AK=BN.

б) Поскольку O_1T:TO_2=3:6, находим O_1T=5, TO_2=10. Тогда, по теореме Пифагора, LT= корень из { 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 }=4, аналогично, MT=8. Тогда L_1M=12. Но:
L_1M=L_1B минус BM=BK минус BN=BA плюс AK минус BN=BA.
Поэтому BA=12.

ответ: б)12

1) одну
2)жодної
3)Відрізок — частина прямої, обмежена двома точками
4)Луч — часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.
5)Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла. Фигура, состоящая из угла и одной из частей плоскости, ограниченной его сторонами, называется плоским углом
6)Развернутый угол равен двум прямым углам, или 180 градусам. Кут, який дорівнює половині розгорнутого кута, називається прямим кутом.
7)Прямий кут — кут величиною 90° (π/2) (що відповідає чверті повного оберту). Його можна визначити як кут, добуток якого на два дорівнює половині повного оберту, тобто 180°Кут, який дорівнює половині розгорнутого кута, називається прямим кутом.