Решите задачу. Впишите ответ.
MP и МК – касательные к окружности с центром O, ∠PMK = 60°. Точка М удалена от центра окружности на 24 см. Вычислите длину диаметра окружности PR и расстояние от её центра до секущей PK.

1. всі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні: ab = bc = cd = ad 2. протилежні сторони квадрата паралельні: ab||cd, bc||ad 3. всі чотири кути квадрата прямі: ∠abc = ∠bcd = ∠cda = ∠dab = 90° 4. сума кутів квадрата дорівнює 360 градусів: ∠abc + ∠bcd + ∠cda + ∠dab = 360° 5. діагоналі квадрата мають однакової довжини: ac = bd 6. кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури 7. діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл: ac┴bd ao = bo = co = do = d 2 8. точка перетину діагоналей називається центром квадрату і також є центром вписаного та описаного кола 9. кожна діагональ ділить кут квадрату навпіл, тобто вони є бісектрисами кутів квадрату: δabc = δadc = δbad = δbcd ∠acb = ∠acd = ∠bdc = ∠bda = ∠cab = ∠cad = ∠dbc = ∠dba = 45° 10. обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні: δaob = δboc = δcod = δdoa

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике есть прямой угол, равный 90°. 180° - 90° = 90° -- сумма оставшихся двух острых углов.

2. В прямоугольном треугольнике если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Это теорема об угле в 30° в прямоугольном треугольнике.

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше другого. Острые углы этого треугольника равны 60° и 30°

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Пусть x градусов -- меньший острый угол, тогда 2x градусов -- больший, имеем

x + 2x = 90

3x = 90

x = 30° -- меньший острый угол

2x = 60° -- больший острый угол

4. Один из углов прямоугольного треугольника на 18° больше другого. Углы треугольника равны 1) 90°, 36°, 54°; 2) 90°, 72°, 18°

Задача имеет два ответа.

Треугольник прямоугольный ⇒ один из углов равен 90°

1 случай. Один острый угол больше другого на 18°.

Пусть x градусов -- меньший острый угол, тогда (x + 18) градусов -- больший, имеем

x + (x + 18) = 90

2x + 18 = 90

2x = 72

x = 36° -- первый острый угол

x + 18 = 54° -- второй острый угол

2 случай. Острый угол на 18° меньше, чем прямой угол (больше нельзя, так как в прямоугольном треугольнике нет тупых углов), тогда

90° - 18° = 72° -- величина первого острого угла

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то найдём второй острый угол:

90° - 72° = 18°

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Пусть x градусов -- меньший острый угол, тогда 2x градусов -- больший, имеем

x + 2x = 90°

3x = 90°

x = 30° -- меньший острый угол

2x = 60° -- больший острый угол

5. Существует ли треугольник с двумя прямыми углами? Нет.

Предположим, что такой треугольник существует. Тогда по теореме о сумме углов треугольника третий угол будет равен 0°, что невозможно для треугольника. Значит предположение неверное.

6. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против большего угла -- это гипотенуза.

У прямоугольного треугольника есть своя терминология. Стороны называются катетами и гипотенузами. Последняя лежит напротив прямого угла (он же наибольший в треугольнике).

7. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, а противолежащий ему катет равен 6 см. Гипотенуза равна 12 см.

Воспользуемся теоремой об угле в 30° в прямоугольном треугольнике. По ней, катет, лежащий напротив угла 30°, в два раза меньше гипотенузы, то есть гипотенуза в 2 раза больше катета:

6 * 2 = 12 см

8. Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 90°, 45°, 45°.

Треугольник прямоугольный ⇒ один из углов равен 90°.

Треугольник равнобедренный, значит острые углы равны. В сумме они дают 90°. Пусть x градусов -- острый угол такого треугольника, тогда

x + x = 90°

2x = 90°

x = 45° -- острые углы треугольника

9. В треугольнике АВС ∠С = 90°, ∠В = 60°, СВ = 6 см, тогда AB = 12 см.

Найдём угол A: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°

Воспользуемся теоремой об угле в 30°: AB = 2CB = 2 * 6 = 12 см

10. В ΔАВС ∠С = 90°, АВ = 15 см, СВ = 7,5 см, тогда ∠В = 60°.

∠A лежит напротив стороны CB, при этом 2CB = AB ⇒ по теореме об угле в 30° ∠A = 30°

Сумма острых углов 90° ⇒ ∠B = 90° - ∠A = 60°