Билет №1 параллелограмм и его свойства (доказательств одного из них) средняя линия треугольника. теорема о средней линии треугольника. площадь прямоугольника равна 75 см2. найдите стороны этого прямоугольника, если одна из них в три раза больше другой. катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. вычислите высоту, проведённую к гипотенузе. билет №2 признаки параллелограмма (доказательство одного из них) касательная к окружности. свойство касательной к окружности. найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60о сумма трёх углов параллелограмма равна 254о. найдите углы параллелограмма. билет №3 прямоугольник. свойство диагоналей прямоугольника. вписанный угол. теорема о вписанном угле. следствия из теоремы. площадь параллелограмма равна 90 см2. найдите высоту параллелограмма, проведённую к стороне, равной 12 см. найдите сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 3. билет №4 параллелограмм (определение). площадь параллелограмма. хорда. теорема об отрезках двух пересекающихся хорд. найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см. найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 8 см и 12 см, а боковая сторона – 10 см. билет №5 треугольник. теорема о площади треугольника. формулы площади треугольника. биссектриса угла. свойство биссектрисы угла. следствия. найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 12 см. у подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см. площадь первого треугольника рано 27 см2. найдите площадь второго треугольника

Билет №1: параллелограмм и его свойства (доказательство одного из них), средняя линия треугольника, теорема о средней линии треугольника.

1. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

2. Докажем одно из свойств параллелограмма: противоположные стороны равны.

Пусть ABCD - параллелограмм.
Отрезок AB параллелен и равен отрезку DC, а отрезок AD параллелен и равен отрезку BC.
Нам нужно доказать, что AB равно DC.

Представим параллелограмм ABCD как два треугольника:
треугольник АВС и треугольник DCB.

По теореме о средней линии треугольника:
Мы знаем, что средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и её длина в два раза меньше суммы длин двух других сторон.

Так как AB параллелен и равен DC, а средняя линия треугольника ABС равна DC,
то мы можем заключить, что AB равен DC.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны параллелограмма равны.

3. Вычислим стороны прямоугольника, если одна из них в три раза больше другой.

Пусть одна сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет равна 3х, так как она в три раза больше.
Площадь прямоугольника равна 75 см², поэтому мы можем составить уравнение:

х(3х) = 75

Раскрываем скобки:

3х² = 75

Делим обе части на 3:

х² = 25

Извлекаем квадратный корень:

х = √25

х = 5

Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 15 см.

4. Вычислим высоту, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см.

Высота, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника.

По формуле площади прямоугольного треугольника:

S = (a * b) / 2,

где S - площадь треугольника, a и b - катеты.

Подставляем значения:

S = (6 * 8) / 2 = 24.

Площадь треугольника равна половине произведения его катетов.

Высота, проведенная к гипотенузе, равна (2 * S) / гипотенуза.

Подставляем значения:

h = (2 * 24) / 10 = 4.8.

Таким образом, высота, проведенная к гипотенузе, равна 4.8 см.

Билет №2: признаки параллелограмма (доказательство одного из них), касательная к окружности, свойство касательной к окружности.

1. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

2. Докажем одно из свойств параллелограмма: противоположные углы равны.

Пусть ABCD - параллелограмм.
Проведем диагональ AC параллельно и равносторонней стороне BD.

Тогда у нас есть две пары соответственных углов:
∠А = ∠С (по построению)
∠В = ∠D (противоположные углы параллелограмма)

Таким образом, мы доказали, что противоположные углы параллелограмма равны.

3. Вычислим площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60°.

Для вычисления площади прямоугольника, нам нужно знать длины его сторон.

По теореме косинусов:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где c - диагональ прямоугольника, a и b - стороны прямоугольника, γ - угол между диагоналями.

Пусть одна сторона прямоугольника равна 5 см, тогда другая сторона будет равна х.

Имеем:

c² = 5² + х² - 2 * 5 * х * cos(60°)

c² = 25 + х² - 10х * (1/2)
c² = 25 + х² - 5х

c² = х² - 5х + 25

Так как у нас прямоугольник, диагонали равны:

c = х

Теперь мы можем записать следующее уравнение:

х² = х² - 5х + 25

Отнимаем х² и 25 от обеих частей:

0 = -5х

Делим обе части на -5:

0 = х

Теперь мы знаем, что одна сторона прямоугольника равна 0 см.

Это невозможно, поэтому решение задачи не существует.

4. Найдем углы параллелограмма, если сумма трех углов равна 254°.

Параллелограмм имеет две пары параллельных сторон и противоположные углы равны, поэтому два треугольника, образованных диагоналями параллелограмма, равны.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол BED = 180° - ∠DEM.

Также известно, что угол DAB = 180° - ∠ABD.

Таким образом, сумма углов BED и DAB равна 360° - (∠ABD + ∠DEM).

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠ABD = ∠CDB и ∠DEM = ∠BCA.

Подставляем значения:

360° - (∠ABD + ∠DEM) = 360° - (∠CDB + ∠BCA) = 254°

Таким образом, сумма углов параллелограмма равна 254°.

Билет №3: прямоугольник, свойство диагоналей прямоугольника, вписанный угол, теорема о вписанном угле, следствия из теоремы

1. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

2. Свойство диагоналей прямоугольника: диагонали прямоугольника равны и делят его на два равных прямоугольных треугольника.

Докажем это свойство:

Пусть ABCD - прямоугольник.
Отрезок AC - диагональ прямоугольника, а точка М - середина этой диагонали.

Рассмотрим два треугольника: треугольник АМС и треугольник ВМD.

В обоих треугольниках катет АМ равен катету СМ (т.к. они являются половинами диагонали AC), и катет ВМ равен катету МD (т.к. они являются половинами диагонали BD).

Также, по определению прямоугольника, угол AMC = 90° и угол BMD = 90°.

Таким образом, треугольник АМС и треугольник ВМD являются прямоугольными, и их катеты равны.

Поэтому по определению диагонали можно заключить, что диагонали AC и BD прямоугольника равны.

3. Вписанный угол - это угол, чишмяющийся на окружности и с обеими сторонами, которые пролегают через точка на окружности.

4. Теорема о вписанном угле: мера вписанного угла равна половине меры его хорды.

Обозначим арку натянутую на окружность между точками P и Q за угол ∠POQ.

Стороны хорды будут AB и CD.

Тогда мера ∠POQ будет равна половине меры дуги AB и половине меры дуги CD.

Таким образом ∠POQ = 1/2 (мeра дуги AB + мeра дуги CD).

5. Следствия из теоремы о вписанном угле:

- Угол ∠AOC (вписанный угол, опирающийся на дугу АС) равен половине меры дуги АС.
- Две хорды окружности AB и CD (параллельные хорды), опирающиеся на одну дугу AC, равны.
- Диагонали прямоугольника (BC и AD), опирающиеся на одну дугу AC, равны.

6. Найдем высоту параллелограмма, проведенную к стороне, равной 12 см.

Высота параллелограмма - это перпендикуляр, проведенный от вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Пусть высота равна h, длина стороны равна 12 см, а противоположная сторона равна b.

По свойству диагоналей прямоугольника, мы знаем, что диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

Таким образом, прямоугольник ABCD разделяется на два треугольника ABE и DAF.

В треугольнике ABE, отрезок AE является высотой, а сторона BE будет равна b.

По формуле площади треугольника:

S = (база * высота) / 2.

S = (12 * h) / 2.

Мы также знаем, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту.

S = 90 (дано).

Теперь мы можем записать уравнение:

90 = (12 * h) / 2

Упрощаем:

90 * 2 = 12h

180 = 12h

Делим обе части на 12:

15 = h

Высота параллелограмма равна 15 см.

7. Найдем сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 3.

Равно