Примем сторону основания за a = 1, высоту за H = 2.
Высота h основания равна: h = a(√3/2) = √3/2.
Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h = (2/3)*(√3/2) = √3/3. Отсюда находим боковое ребро L:
L = √(((2/3)h)² + H²) = √((3/9) + 4) = √(13/3).
Находим апофему А:
A = √(L² - (a/2)²) = √((13/3) - (1/4)) = √(52 - 3)/12) = 7/(2√3).
Площадь боковой грани Sбг = (1/2)aA = (1/2)*1*(7/(2√3)) = 7/(4√3)).
Высота hбр из вершины основания к боковому ребру равна:
hбр = 2S/L = (2*(7/(4√3)))/√(13/3) = 7/(2√13).
Отсюда можно определить искомый двугранный угол при боковом ребре как плоский угол δ между двумя перпендикулярами к боковому ребру.
cos δ = ((hбр)² + (hбр)² - a²)/(2*(hбр)*(hбр)) = ((2*49)/(4*13) - 1)/(2*49/13) = 23/49.
δ = arccos(23/49) = 1,0822 радиан = 62,0054 градуса.
Ясно, что в этом прямоугольном треугольнике есть не только угол в 60°, но и в 30°, т.к. в сумме острые углы составляют 90°. А против острого угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, т.е. 6 см. Тогда другой катет равен √(12²-6²)=6√3,
А в маленьком треугольнике, на которые разбивает высота исходный треугольник, тоже есть угол в 30°, против него лежит проекция катета в 6 см для исходного треугольника, для маленького же треугольника сторона в 6 см является гипотенузой, значит, эта проекция равна 3см, и 12-3=9/см/- больший из отрезков, на которые высота, проведенная к гипотенузе разбивает эту гипотенузу.
ответ 9 см
